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1、第一章第一章 先验分布与后验分布先验分布与后验分布 1.1 解：令解：令 12 0.1,0.2 设设 A 为从产品中随机取出为从产品中随机取出 8 个，有个，有 2 个不合格，则个不合格，则 226 18 ()0.1 0.90.1488P AC 226 28 ()0.2 0.80.2936P AC 从而有从而有 11 1 1122 () ( ) ()0.4582 () ( )() () P A A P AP A 22 2 1122 () () ()0.5418 () ( )() () P A A P AP A 1.2 解：令解：令 12 1,1.5 设设 X 为一卷磁带上的缺陷数，则为一卷磁带
2、上的缺陷数，则( )XP 3 (3) 3! e P X 1122 (3)(3) ( )(3) ()0.0998P XP XP X 从而有从而有 11 1 22 2 (3) () (3)0.2457 (3) (3) () (3)0.7543 (3) P X X P X P X X P X 1.3 解：解：设设 A 为从产品中随机取出为从产品中随机取出 8 个，有个，有 3 个不合格，则个不合格，则 335 8 ()(1)P AC （1） 由题意知由题意知 ( )1,01 从而有从而有 35 1 0 () ( ) ()504(1) ,01 () ( ) P A A P Ad （2） 36 1 0
3、() ( ) ()47040(1) ,01 () ( ) P A A P Ad 1.5 解：由已知可得解：由已知可得 ()1,0.50.5P xx 1 ( ),1020 10 11.6 11.5 1 ( )0.01 10 m xd 从而有从而有 () ( ) ()10,11.511.6 ( ) P x x m x 1.6 证明：设随机变量证明：设随机变量( )XP，的先验分布为的先验分布为( ,)Ga ，其中，其中, 为已知，为已知， 则则 (),0 ! xe P x x 1 (),0 ( ) e 因此因此 11(1) ()()( ) xx xP xeee 所以所以 (,1)xGa x 1.7
4、 解： （解： （1）由题意可知）由题意可知 ( )1,01 因此因此 1 2 2 ( )12(1) x x m xdx 因此因此 2 () ( )1 (),1 ( )1 P xx xx m xx （2） 由题意可知由题意可知 1 2 2 0 2 ( )36 x m xdx 因此因此 () ( ) ()1,01 ( ) P x x m x 1.8 解：设解：设 A 为为 100 个产品中个产品中 3 个不合格，则个不合格，则 3397 100 ()(1)P AC 由题意可知由题意可知 199 (202) ( )(1),01 (200) 因此因此 3971994296 ()()( )(1)(1)
5、(1)AP A 由上可知由上可知 (5,297)ABe 1.9 解：设解：设 X 为某集团为某集团中人的高度，则中人的高度，则 2 ( ,5 )XN 2 5 ( ,) 10 XN 2 (176.53) 5 1 () 5 p xe 由题意可知由题意可知 2 (172.72) 5.08 1 ( ) 5.08 e 又由于又由于X是是的充分统计量，从而有的充分统计量，从而有 ()()()( )xxp x 222 (176.53)(172.72)(174.64) 55.082 1.26 eee 因此因此 (174.64,1.26)xN 1.10 证明：设证明：设 22 ( ,),N uu其中为已知 又由
6、于又由于X是是的充分统计量，从而有的充分统计量，从而有 ()()()( )xxp x 2 2 2 2 22 25 1 () () 11 25 2 () 1 1 225 252 u x x u eee 因此因此 2 22 25 1 (,) 11 2525 u x xN 又由于又由于 2 11 1 25 25 所以所以 的后验标准差一定小于的后验标准差一定小于 1 5 1.11 解：设解：设 X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0, )XU 1 (),0p xx 当当8时，时， 3 1 ()p x 43 8 192 11 ( ) 8192 m
7、xd 从而有从而有 7 () ( )3 () ( )128 p x x m x 1.12 证明：由题意可知证明：由题意可知 1 (),0,1,2,., i n p xxin 从而有从而有 () ()()( )xxp x 00 11 1 n nn 因此因此 的后验分布仍是的后验分布仍是 Pareto 分布。分布。 1.13 解：由题意可知解：由题意可知 2 1 3 3 1 6 45 1 1.15 解：解： （1）设）设的先验分布为的先验分布为( ,)Ga ，其中，其中, 为已知为已知 由题意可知由题意可知 1 1 ()(),0,1,2,., n i i nx n ii i p xp xexin
8、从而有从而有 ()()( )xp x 11 () 11 nn ii ii xx nn eee 因此因此 1 (,) n i i xGa nx 所以所以 ( ,)Ga 是参数是参数的共轭先验分布的共轭先验分布 （3） 由题意可知由题意可知 2 0.0002 0.0004 2 0.0001 1.16 解：设解：设 2 11 2 1 ( ,)( ,) 2 XNN ，则，则 2 21 () 12 2 1 (,) x p xe 2 21 1 () 2 122 (,) n i i n x p xe 由题意可知由题意可知 12 2 1 (0,) 2 N 2 (,)Ga 从而有从而有 21 1 1 () 2
9、121222 , ( ) e 因此因此 22 211 11 1 (1)2 1 2 1212122 ,(,), nn ii ii n nxx xp xe 1.19 证明：设证明：设的先验分布为的先验分布为 ，( )XP，则，则 (),0 ! xe P x x 1 1 1 ()() ! n i i x nn in i i i e p xp x x 从而有从而有 1 () n i i x n xp xe 令令 1 n i i Tx ，则，则 第二章第二章 贝叶斯推断贝叶斯推断 2.1 2.1 解：解：由题意可知由题意可知 1,01 设设 12 ,., n XXX是从随机变量是从随机变量 X X 中抽
10、取的随机样本，则中抽取的随机样本，则 1 1 ()()(1) n i i nx n i i p xp x 从而有从而有 1 ()(1),01 n i i x n xp x 所以所以 1 (1,1) n i i xBe nx （1 1） 由题意可知由题意可知 n=1,x=3n=1,x=3 (2,4)xBe 21 243 E （2 2） 由题意可知由题意可知 123 3,3,2,5nxxx (4,11)xBe 44 4 1115 E 2.2 2.2 解：设解：设 X X 为银行为顾客服务的时间，则为银行为顾客服务的时间，则 () x p xe 设设的先验分布为的先验分布为( ,)Ga ，则，则 2
11、 0.2 0.04 0.2 1 由题意可知由题意可知 3.8x 从而有从而有 ()xp x 1 1 111 n n i i i i xx nxnnn eeee 因此有因此有 (,)(20.04,76.2)xGannxGa 所以有所以有 20.04 ()0.26 76.2 Ex 111 0 ()4.002 1 n nxn nxnx Exed nn 2.3 2.3 解：设解：设 X X 为磁带的缺陷数，则为磁带的缺陷数，则( )Xp 3 1 33 3 1 1 ()() ! i i x i i i i e p xp x x 由题意可知由题意可知 2 1 ,0 2 e 从而有从而有 3 1 32104 () i i x xp xeee 因此因此 (11,4)xGa 11 ()() 16 E MSEVarx 2.4 2.4 解：设解：设 X X 为为 n n 个产品中不合格数，则个产品中不合格数，则( , )Xbin n 由题意可知由题意可知 49 (1) ,01 （1 1） 由题意可知由题意可知(
