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1、第29卷第4期增刊 2008年4月仪 器 仪 表 学 报Chinese Journal of Scientific lnstrumentV01.29No.4 Apr.2008区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用杨卫锋曾芳玲(解放军电子工程学院合肥230037摘要在未知但有界(UB曲误差假设下,把非线性系统模型参数估计看成是一个集合逆变换问题,利用基于区间分析的SIVIA 算法可以得到参数成员集的近似但可靠的集估计,进一步计算便可得到待估参数的点估计.通过对谷氨酸菌体生长模型参数 估计进行仿真,验证了该方法的有效性:通过与其他算法相比较,结果显示该方法还具有较强的鲁棒性和一定的适用性.关键词
2、区间分析非线性系统参数估计未知但有界(UBB有界误差估计Application of Interval Analysis for Parameter EstimationofNonlinearSystemModelYang Weifeng Zeng Fangling(Electronic Engineering Institute P翻Hefei 230037ChinaAbstract The problem of the parameter estimation of nonlinear system modeI iS viewed鹌one of set inversion in the u
3、nknown-but-bounded(UBBcontext,and the approximate set of the membership set can be obtained by using the SIVIA(Set Inverter Via Interval Analysisalgorithm which is based 011interval analysis.After further computation,the point estimation of the parameters to be estimated can also be obtained.The eff
4、ectiveness of the SIVIA algorithm is tested by parameter estimation of glutamic acid bacterium growth model.It also shows that the approach is of a stronger robustness and a determinate applicability by comparing with the other methods. Key words interval analysis nonlinear system parameter estimati
5、on unknownbut-bounded(UBB bounded.error estimation1引言在系统模型的参数估计中,经典的基于统计特 性的参数估计方法都是假设系统中的不确定性(或 误差服从一定的概率模型,然后根据不同的假设 条件,相应的采用最大后验概率估计、最大似然估 计、最小二乘估计等方法对参数进行估计.当系统 误差的统计特性已知时,这种成熟的参数估计方法 无疑是最好的选择,但实际上,由于观测误差、模型 结构误差以及随机噪声等各种不确定因素的存在, 使得这种假设一般很难得以满足,另外,基于统计 特性的参数估计方法还会受到其他因素困扰111,特 别是当模型输出相对于参数是非线性时
6、【21,这就使 得这种经典的参数估计方法也还存在着一定的不 足。系统模型中,误差的界限通常比其统计特性更 容易获得,且在某些情况下对数据的表示也更加合 理.因此,基于未知但有界(unknown-but-bounded, UBB误差假设的有界误差估计或称为集员辨识【34】 的方法则可以在某种程度上较好的弥补统计方法 的不足.在UBB误差情况下,对非线性系统模型进 行参数估计可以看成是一个集合逆变换(set第4期增刊 杨卫锋等:区间分析在非线性系统模型参数估计中的应用inversion问题,借助基于区间分析(Interval Analysis, IA16,9的SIVIA(Set Inverter
7、Via Interval Analysis算 法12,6-101,我们就可以得到待估参数的近似但可靠的 估计集,经过进一步计算,即可得到待估参数的点 估计。当既可以得到误差的概率统计特性,又知道误 差界限,我们可以把参数估计的统计估计方法和有 界误差估计方法结合起来,各取所长,以得到更理 想的参数估计结果。2有界误差估计在UBB误差背景下,设实际观测数据 J,(fR,系统模型的未知参数向量PR”,模型 的理论输出%(BfR,输出误差为 e(p,=Y(t-Ym(P,f,若设曼(,和虿(f分别为 已知的可接受输出误差的下界和上界,则当且仅当 P(p,fE=P(rI兰Oe(t虿O时,我们称 P是可行
8、的.设所有可行值P的集合即成员集为S, 用下式表示S=伽R“Iy(一Ym(P, ,、 【旦(,虿(】,f=1,2,七著 著=n,gnk(弘陟以】-n瓯(2 i=l i=l式中:眇(ff】=【y(,f一万(t,y(t一旦(,j】,y( 为时刻的观测值,ym(p,为时刻的输出.由 (2式可以看出,随着样本容量的增多,S的包含范 围将逐步缩小,当样本容量足够多时,S将收敛到 系统模型的真实参数.表示S的方法很多,但多数的算法都是针对于 线性参数系统的情况,即虼(弘f是P的线性函数, 这时S通常对应于一个比较简单的凸集,如超平行 体、椭球体等,我们可以比较准确地表示它,但当 ym(p,是P的非线性函数
9、时,S可能是非凸集, 并且有可能是由若干个不连通的部分所构成的一 个集合,此时,我们想要可靠地表示S,情况就要复 杂的多.但不管J,(p,是,的线性函数与否,区 间分析都可以为估计S的一个近似但可靠的集合 提供有力的工具支持12声1.61在集合意义上,假设此(p,f的反函数为 虼叫(,f,则S也可用下式表示:S=儿_1(y(f一E=J卅(y (3 其中Y=J,(f一曰为模型输出的先验可行 集,(3显然是一个集合逆变换问题.在UBB误差情 况下,把非线性系统模型参数估计看成是一个集合 逆变换问题,利用基于区间分析的SIVIA算法,就可 以得到待估参数的近似但可靠的估计集了。3集合逆变换的区间分析
10、方法使用区间分析进行非线性参数估计有两种方 法:一是使用基于区间分析的区间全局优化算法【9l 优化某一目标函数来寻找最优参数:二是在UBB误 差情况下,寻找所有与误差相容的不确定参数集 12,6-m1.本文利用L.Jaulin和E.Walter等人提出的 SIVIA算法进行非线性系统模型参数估计(使用区 间分析进行线性系统模型参数估计详见文献 11.对于(3式所示的集合逆变换问题。利用 SIVIA算法总可以得到两个正规的子块石面路集 (regular subpavingtgl墨,S使得:ScScS (4 i霞SIVIA算法的先验搜索域【鳓13S(为了保 证【风】肛”肯定包含S,【风】可能非常大
11、,模型 输出的先验可行集l厂,用户预设的容差参数靠(当 所考查的区间向量的宽度比晶小时,搜索结束,这 样就可以防止算法无休止的搜索下去,SIVIA算法 不同于传统的随机搜索方法,它采用二分法,递归 地全面而系统地搜索【风】,在搜索的过程中,进行 以下测试判断: 如果眇】。(【纠,fc Y,那么肯定有【P】c S, 这时【p】是可行的,把【p】存放到墨和S中: 如果眇】。(【纠,tNY=a,那么肯定有 【pns=o,这时【p】是不可行的,则把【纠 删除: 此外,【P】是不确定的,即它可能是可行的也可 能是不可行的,此时,若它的宽度w(【p】比%第29卷 仪 器 仪 表 学 报大,那么对其二分,并
12、对所产生的新区问向量 重新进行测试判断,若w(【p】比岛小,那么就 认为【p】满足要求,并把它存放到S中.由此,则基于区间分析的SIVIA算法可概括如 下(初始化S#a,S:=g:SIVIA(in:Ym,Y,p】,Co;inout:签,Sl if【J,】。(p】nl,=g return;2if【y】。(咖】cy,then蓬sU【,】;S:=S Up】;return;3if以咖】岛thenS:=SUp】;return; 4SIVIA(in:%,Y,L【纠,So,s,S;SIVIA(in:虼,Y,Rp】,60,s,S.其中:Lp】=【Pl,磊】【pi,(pi+歹;/2】X【P。,瓦】,RIp】=【
13、Pl,死】【(pj+死/2,歹j】【P。,A】.有限次递推后,就可以得到ScScS,这就 意味着未知集合S被包含在两个已知集合S和j 之中了,所以,只要我们求得S和露,也就可以近似 得到S了.属于S但不属于S的所有区间向量所组成的 子块石面路集称为不确定层,用心口jS表示. 丛的宽度越窄,S逼近真实成员集的效果越好,反 之就差.值得指出的是,利用SIVIA算法对非线性系统 模型进行参数估计时,都是假设参数与误差是相容 的,由于过于乐观地估计误差的界限或因为传感器 在给定时间点故障以致假设不相容时,由(2式可 以看出,利用SIVIA所得到的结果可能是个空集.这 种情况下,为了得到问题的解集,可利
14、用稳健非线 性估计方法【ado对其进行估计.由于用于估计的信 息减少了,所以,对相同问题的估计结果,所得估计 集的体积较前要稍大一点.当参数空间的维数比较 高时,可将收缩算子(contractor191应用于SIVIA算 法以减少计算的时间复杂度和空间复杂度,提高算 法的速度和效率.62 4仿真试验本文以谷氨酸菌体生长模型参数估计为例,验 证SIVIA算法的有效性.菌体种子接入发酵罐后,就在罐内按自然规律 生长繁殖,在整个发酵期间,若无杂菌和噬菌体的 侵袭,罐内外没有大规模菌体迁移,菌体在发酵罐 内的自然生长繁殖过程可以用Verhulst方程来描述 【12.15l:dYm(t/dt=%(f(1
15、一ym(t/k,%(O=%o. 在工业生产的实际过程中,鉴于接入发酵罐中 的菌体有一个适应环境的过程,菌体的增殖有一段 时间的滞后,为此,将上式改写成:lYm(t=Ymo,0fl【dyAt/dt=砜(1一虼(f/尼对上述的微分方程进行求解可得:虼(r=k/(1+exp(a-rxt,%o=k/(1+e8(5 式(5即可作为菌体在发酵罐内的生长模型.4.1仿真条件非线性系统模型虼(f=k/(1+exp(a-rx f, 其中k、a、r分别为待估计的模型参数,ym(t为模 型输出,观测值,(f如表1所利协151.设实际观测数据与模型输出之间的误差 P(f:如.Ym(t-o.1,n1】,脚,.7,待 ly(f一%(f【-0.05,0.05】,t=8,21。 估参数k、a、r的先验可行集为:【P。】=【o,6xO,6】【O,5】,用户预设精度:=0.01.表1实际观测数据y(tt y(tt y(t O32O|35O.360.4O.580.640.749O.78100821l O.85120.86130.87140.87150.89160917O,9180,9190.9200.9210.94.2仿真结果利用SIVIA算法在3.1节仿真条件
