第一讲：期权的定价与波动率资料

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1、上交所期权策略高级顾问培训 上海证券交易所 期权的定价与波动率 第一讲 引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录 目 录 引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录 目 录 -5- 回顾期权价格的影响因素 自身基因的约束 合约类型、行权价、 到期日 社会大环境的 熏陶 无风险利率 父母亲的言传 身教 股价、波动率 认购期权到期前的价格图形 -6- 认沽期权到期前的价格图形 -7- -8- 到期前权利金到底值多少钱 期权在到期前价格曲线渐渐逼近与到期时的价 格折线！ 我们更在乎的是期权权利金在到期前任一时刻 到底值多少钱？ 关键点：寻找一种方法求

2、出到期前价格曲线的 表达式。 从一个游戏的入场券说起 5050 % 5050 % 从一个游戏的入场券说起 该游戏盈亏的期望值100 * 50% - 20 * 50% = 40美元。 通常而言，我们把风险中性世界下的定价视为公平的定价。所 以，门票的合理定价应等于40元。 风险中性的人 风险偏好的人 风险厌恶的人 愿意支付40元 愿意支付40元以上 愿意支付40元以下 简单的定价 反过来，假如有一只股票，今天的价格为100元，一周后的价格只有两 种情况，要么110元，要么90元，那么一个风险中性者会愿意给上涨赋 予多少的概率？（若无风险利率为0） S(0)=100 S(u)=110 S(d)=9

3、0 简单的定价 那么在风险中性世界里，一份行权价为100，一周后到期的认购期权 的“公平”定价是多少呢？（若无风险利率为0） S(0)=100 S(u)=110 S(d)=90 C(0)=? C(u)=10 C(d)=0 想一想“游戏的入场券”？ C(0)10 * 50% + 0 * 50% = 5 小球落在的区域 可是如果股价在期权到期日不只 两个结果，有“无数”个可能的 结果，这份行权价为100的认购 期权的“公平”定价又该是多少 呢？ 先来看另先来看另 一个游戏一个游戏 小球落在的区域 如果有足够多的小球滑落进 凹槽，我们将会得到小球的 分布 最终大多数小球会集中在 中间区域，两边的小球

4、越 来越少。这样的分布就是 正态分布！ 期权定价的基本思想 无套利机会 复制资产 期权定价的常用方法 二叉树模型 Black- Scholes模型 理论 模型 蒙特卡洛法 有限差分法 数值 方法 在实际交易运用中，期权定价基本都以计算机计算为主，许 多客户端也嵌入了期权价格计算器供客户参考。 引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录 目 录 -18- 一个简单的例子 有一只股票目前为50元，一年后股价只有两种可能：上涨到100元 ，或下跌至25元。市场无风险利率为5。 那么行权价为50元，合约单位100，一年后到期的欧式认购期权现 在到底值多少钱呢？ S=50 100

5、 25 C=? 50 0 -19- 一个简单的例子 试想如果我们构造如下投资组合： 卖出开仓3张认购期权； 买入200股股票； 以无风险利率5%借入4762元的现金。 S=50 100 25 C=? 50 0 -20- 一个简单的例子 卖出卖出3 3张认张认 购期权购期权 买入买入200200股股 股票股票 以以5%5%的利率借的利率借 入入47624762元资金元资金 所持头寸 开仓时 到期股价100 到期股价25 卖出3张认购 +300*C -15000 0 买入200股股票 -10000 +20000 +5000 资金 +4762 -5000 -5000 总和 +300*C-5238 0

6、 0 -21- 一个简单的例子 如果300C5238 0 竟然100%亏钱！ 如果300C5238 0 竟然100%赚钱！ C=? 50 0 在期权定价的核心假设（无套利机会的假设）下，不会发生百 分之百赚钱或亏钱的情况。 所以，只可能使得300C52380！ -22- 期权定价的最基本模型：一步二叉树模型 让我们来进入这样一个金融市场：市场上有一只无风险收益产品， 年收益率为r，又有一只股票，目前价格为S(0)。 一年后股价只有两种可能：要么上涨到S(u)，上涨的概率为p(u)， 要么或下跌至S(d)，下跌的概率为p(d)。 如果另有一份欧式认购期权，行权价K ，一年后到期，那么这份认购期权

7、现 在到底值多少钱呢？ -23- 期权定价的最基本模型：一步二叉树模型 P(u) P(d) -24- 期权定价的最基本模型：一步二叉树模型 我们构造以下投资组合来复制期权头寸： 投资W1份无风险收益产品； 投资W2股标的股票。 使得： W1*(1+r)+W2*S(0)(1+u)=C(u) W2*(1+r)+W2*S(0)(1+d)=C(d) 无套利机会 复制资产 -25- 期权定价的最基本模型：一步二叉树模型 我们可以解出： W1C(d)(1+u)-C(u)(1+d) / (1+r)*(u-d) W2= C(u)-C(d) / S(0)*(u-d) 根据无套利机根据无套利机 会的假设会的假设!

8、 ! 期权价值复制资产的价值 -26- 神奇的发现：风险中性概率 这称为风险中这称为风险中 性定价法性定价法! ! 我们惊奇地发现q(u)+q(d)=1，正好构成 一个概率分布，称为风险中性概率。 期权的定价C(0) 等于未来收益在风险中性 概率下期望值的贴现值，与真实概率分布 p(u)、p(d)无关。 记为记为q q（u u ） 记为记为q q（d d ） 练一练 某个股票现价为100元。每个时间步的步长为6个月， 每个单步二叉树预期股票上涨10，或下降10。假设 无风险年利率为8，则行权价格为100的半年期欧式认 购期权的价值为多少？ -28- P与Q：量化金融的剑宗与气宗 量化金融可以分

9、为两大流派：“Q”与“P”，Q表示风险中性概率 ，P表示真实概率。 随着复杂衍生品的发展，它们的定价称为了广大投资者最为关心的 问题，而“Q”正式它们定价的利器。Q的代表作：1973年B-SM 模型。 在买方进行投资组合管理时，经常需要依据现有的数据刻画资产在 未来一段时间内的概率分布，基于该分布，买方才能游刃有余地进 行资产配置获取收益，而他们使用的方法正式“P”。P的代表作： Markowitz现代投资组合理论。 -29- P与Q：量化金融的剑宗与气宗 Q与P的比较： “Q” “P” 主要目的 衍生品定价（尤其 是期权类产品） 投资组合管理 核心意义 从未来收入推断现 在价格 从现在的信息

10、刻画 未来的分布 使用环境 风险中性测度 真实概率测度 数理工具 随机微积分 （stochastic calculus） 多元统计 （multivariate statistics） 使用领域 做市商报价、场外 期权产品的定价等 对冲基金、资产管 理公司构建选股模 型等 用Excel进行多步二叉树定价 先在表单中构建好股价的二叉树，上述图中我们构建了 股票价格的三步二叉树图 用Excel进行多步二叉树定价 最终该欧式期权的三步二叉树价格=15.31 BS就是二叉树的无限细分 引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录 目 录 BS模型简史 L.Bachelier P.S

11、amuelson K.Ito 从正态分布到对数正态分布 将股价假设为正态分布真的合理吗？ 股价可能变化到0以下吗？ P.Samuelson 为什么对数正态分布比正态分布更好 第一、服从对数正态分布的股票价格始终为正数，这 与公司股票的有限负债特征一致。 第二、在对数正态分布下，不论股价是高是低，用百 分比表示的价格变化会相同的分布。 第三、当时交易所的观察到的数据与对数正态分布模 型也相当的一致。 BS模型简史 Black Scholes Merton -38- BS模型的八大假设 假设一假设一 股价变化服从对数正态分股价变化服从对数正态分 布布 -39- BS模型的八大假设 假设二假设二 两

12、恒定两恒定：无风险利率无风险利率、波动率波动率 期权创设日期权创设日 期权到期日期权到期日 -40- BS模型的八大假设 假设三假设三 市场不存在无风险套利机会市场不存在无风险套利机会 -41- BS模型的八大假设 假设四假设四 市场上不存在任何交易成本市场上不存在任何交易成本 无交易无交易、结算费结算费! ! 无佣金无佣金！ 无税费无税费！ -42- BS模型的八大假设 假设五假设五 该期权是欧式期权该期权是欧式期权 只能到期日当日 才能行权，正如 电影票是能在设 定的时间附近才 能进场。 -43- BS模型的八大假设 假设六假设六 投资者的借贷利率相同投资者的借贷利率相同 借入利率 借出利

13、率 -44- BS模型的八大假设 假设七假设七 市场允许卖空标的证券市场允许卖空标的证券 -45- BS模型的八大假设 假设八假设八 证券交易单位是无限可分的证券交易单位是无限可分的 无限可分：我可以买卖 100股、10股、1股、 0.1股、0.01股 BS公式 按照期权定价四部曲的思维，并在上述假设下，Black和 Scholes合作推导出了下列著名的BlackScholes微分方程： BS公式的说明 说明一：N(.)表示为标准正态分布函数； 说明二：期权的定价与预期收益率无关； 说明二：公式中的r、T都是年化后的值； 说明四：B-S公式不是不考虑风险溢价，而是把风险溢价都已经 包含在S、

14、中。 以欧式认购期权定价公式为例： 期权定价计算三部曲 例如：50ETF在2015.4.30报收3.198元，无风险利率取为 3.925%，年化波动率取为30%，则50ETF行权价为3.200元、还 剩142天到期的欧式认购和认沽期权价值为多少？（假设期间不 支付红利） S=3.198, K=3.200, r=3.925%, =30%, T=0.389 第一步：先计算出d1和d2： 期权定价计算三部曲 S=3.198, K=3.200, r=3.925%, =30%, T=0.389 第三步：代入BS公式： C=3.198*0.5680-3.200*exp(- 3.198%*0.389)*0.

15、4822=0.2606 P=3.200*exp(- 3.198%*0.389)*0.4320- 3.198*0.5178=0.2141 第二步：计算出N(d1)和N(d2)： N(d1)=N(0.1718)=0.5682; N(d2)=N(-0.0153)=0.4939 N(-d1)=N(-0.1718)=0.4318; N(-d2)=N(-0.0153)=0.5061 期权定价计算器投教网站 我们把S=3.198，K=3.200，r=3.925%，=30%，T=0.389输 入投教网站的计算器中，可以得出几乎相同的结果。 期权定价计算器客户端 我们把S=3.198，K=3.200，r=3.925%，=30%，T=0.389输 入客户端的计算器中，也可以得出十分近似的结果。 期权定价计算器上证期权APP BS模型的不足之处 对股价分布的假设。Merton，Cox，Ross等指出，股价的变动不 仅包括连续情形，还包括由于重大时间引起的突跃情形，因此还需 加上跳跃项。 事实上，随着股价上升，波动率一般会下降，并非独立于股价水平 ，恒定波动率的假设不符合现实。目前，如Heston等模型都在扩 展恒定波动率假设的问题。 BS模型假设借贷资金成本相等，且不存在交易成本，不需缴纳保 证金，这些与现实差距较大。 BS模型的检验与作