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1、2.1 随机变量及其分布 2.2 随机变量的数学期望 2.3 随机变量的方差与标准差 2.4 常用离散分布 2.5 常用连续分布 2.6 随机变量函数的分布 2.7 分布的其他特征数,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量及其分布,(1) 掷一颗骰子， 出现的点数 X 1，2，6. (2) n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，n (3) 某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2， (4) 某种型号电视机的寿命 T ： 0, +),2.1.1 随机变量的定义,定义2.1.1 设 =为某随机现象的样本空间， 称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.,注 意 点,(1) 随机变量X()是样
2、本点的函数，,其定义域为 ，其值域为R = (，),若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 X=1.5 是不可能事件.,(2) 若X为随机变量，则 X = k 、 a X b 、 均为随机事件.,即 a X b =；a X() b ,注 意 点,(3) 注意以下一些表达式：,X = k= X kX k；,a X b = X bX a；, X b = X b.,(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量.,掷一枚骰子，令X =出现的点数,则X 就是一个随机变量,它的取值为1，2，3，4，5，6 我们还可以定义其它的随机变量，例如可以定义：,等等,实例,若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可
3、列个，则称 X 为离散随机变量. 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a, b，则称 X 为连续随机变量. 前例中的 X, Y, Z 为离散随机变量； 而 T 为连续随机变量.,两类随机变量,定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数. 基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1； (3) 右连续.,2.1.2 随机变量的分布函数,用分布函数表示事件的概率,2.1.3 离散随机变量的分布列,设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，xn， 称 pi=P(X=xi)， i =
4、1, 2, 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示：,X x1 x2 xn ,P p1 p2 pn ,分布列的基本性质,(1) pi 0， (2),(正则性),(非负性),注 意 点 (1),求离散随机变量的分布列应注意：,(1) 确定随机变量的所有可能取值;,(2) 计算每个取值点的概率.,例2.1.1,从110这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值 试求 X 的分布列,具体写出，即可得 X 的分布列：,解：X 的取值为5，6，7，8，9，10,例2.1.2,已知 X 的分布列如下：,X 0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,求X 的分布函数并画图.,解：,
5、注 意 点 (2),对离散随机变量的分布函数应注意：,(1) F(x)是递增的阶梯函数;,(2) 其间断点均为右连续的;,(3) 其间断点即为X的可能取值点;,(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.,X 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,解：,例2.1.3,已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.,2.1.4 连续随机变量的密度函数,连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b). 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续随机变量X的分布. 注意离散随机变量与连续随机变量的差别.,定义2.1.4,设随机变量X 的分布函数为
6、F(x),则称 X 为连续随机变量，,若存在非负可积函数 p(x) ，满足：,称 p(x)为概率密度函数，简称密度函数.,密度函数的基本性质,满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.,(非负性),(正则性),注意点(1),(1),(2) F(x) 是 (, +) 上的连续函数; (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0;,(4) PaXb = PaXb = PaXb = PaXb = F(b)F(a).,注意点(2),(5) 当F(x) 在x点可导时, p(x) =,当F(x) 在x点不可导时, 可令p(x) =0.,连续型,密度函数 X p(x) ( 不
7、唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,离散型,分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).,4. 点点计较,5. F(x)为阶梯函数。,5. F(x)为连续函数。,F(a0) = F(a).,F(a0) F(a).,例2.1.4,设 X ,求 (1) 常数 k. (2) F(x).,(1) k =3.,(2),解：,例2.1.5,设 X ,求 F(x).,解：,设X与Y同分布，X的密度为,已知事件 A = X a 和 B = Y a 独立，,解: 因为 P(A) = P(B),P(AB) =
8、 P(A)+P(B)P(A)P(B),从中解得,且 P(AB)=3/4,求常数 a .,且由A、B 独立，得,= 2P(A) P(A)2 = 3/4,从中解得: P(A)=1/2,由此得 0a 2 ,因此 1/2 = P(A) = P( X a ),例2.1.6,设 X p(x)，且 p(x) = p(x)，F(x)是 X 的分布函数， 则对任意实数 a0，有( ) F(a) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 1,课堂练习,2.2 随机变量的数学期望,分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. 当甲赢2局、
9、乙赢1局时，中止了赌博. 问如何分赌本?,两种分法,1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4,2.2.1 数学期望的概念,若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为：,X 0 100,P 1/4 3/4,甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.,2.2.2 数学期望的定义,定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xn) = pn,
10、 n = 1, 2, . 若级数,绝对收敛，则称该级数为X 的,数学期望，记为,数学期望简称为期望. 数学期望又称为均值. 数学期望是一种加权平均.,注 意 点,例2.2.1,则,E(X) =,10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.,X 1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.4 0.3,例2.2.2 分组验血,解,例2.2.3,解,连续随机变量的数学期望,定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分,绝对收敛，则称该积分为X 的,数学期望，记为,例2.2.4 设随机变量 X 的概率密度函数为,求EX 。,解,随机变量函数的数学期望,引例 设随机变量 X 的分布
11、律为,则有,因此离散型随机变量函数的数学期望为,若 Y=g(X), 且,则有,2.2.3 数学期望的性质,定理2.2.1 （随机变量函数的数学期望） 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数，若 E(g(X)存在，则,例2.2.5 设随机变量 X 的概率分布为,求 E(X2+2).,= (02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4,= 1+3/4+6/4 = 13/4,解: E(X2+2),X 0 1 2,P 1/2 1/4 1/4,数学期望的性质,(1) E(c) = c,(2) E(aX) = aE(X),例2.2.6,设 X ,求下列 X 的函数的数学期望.,(1) 2X1,
12、(2) (X 2)2,解: (1) E(2X 1) = 1/3,(2) E(X 2)2 = 11/6.,2.3 随机变量的方差与标准差,数学期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的离散程度.,2.3.1 方差与标准差的定义,定义2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，则称 E(XE(X)2 为 X 的方差，记为,Var(X)=D(X)= E(XE(X)2,(2) 称,注 意 点,X = (X)=,(1) 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差越大, 则随机变量的取值越分散.,为X 的标准差.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同.,2.3.2 方差的性质,(1) Var(c)=0.
13、 性质 2.3.2,(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性质 2.3.3,(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性质 2.3.1,例2.3.1 设 X , 求 E(X), Var(X).,解: (1) E(X)=,= 1,(2) E(X2) =,= 7/6,所以,Var(X) = E(X2)E(X)2,= 7/6 1 = 1/6,课堂练习,问题：Var(X) = 1/6, 为什么？,随机变量的标准化,设 Var(X)0, 令,则有 E(Y)=0, Var(Y)=1.,称 Y 为 X 的标准化.,2.3.3 切比雪夫不等式,设随机变量X的方差存在(这时均值也存在), 则
14、 对任意正数，有下面不等式成立,例2.3.2 设 X,证明,证明:,E(X) =,= n+1,E(X2) =,= (n+1)(n+2),所以,Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1,(这里, = n+1),由此得,定理 2.3.2,Var(X)=0,P(X=a)=1,2.4 常用离散分布,2.4.1 二项分布 记为 X b(n, p). X为n重伯努利试验中“成功”的次数,当n=1时，称 b(1, p) 为 0-1分布或两点分布.,试验次数为 n=4,“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,所以, X b(4, 0.8),思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ？,Y b(4, 0.
15、2),一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.,200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件, 若规定,则随机变量 X b(1, 0.04) .,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,二项分布的图形,分析,解,图示概率分布,则有,两点分布的期望和方差,则有,二项分布的期望和方差,例2.4.1 设X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).,解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9.,
