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1、弹性力学试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。2一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。3等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。4平面问题的应力函数解法中，Airy应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。5弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，。二、简述题（每小题6分）1试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换
2、为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。题二（2）图（a） （b）3图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E、泊松比 m 已知。试求薄板面积的改变量。 题二（3）图设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为。由得，设板在力P作用下的面积改变为，由功的互等定理有：将代入得：显然，与板的形状
3、无关，仅与E、l有关。4图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件（除固定端外）。题二（4）图（1）；（2）（3） 5试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1）变求多个位移函数或为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。（2）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性：Love位移函数法适用于求解轴对称的空间问题； Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1图示半无限平面体在边
4、界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为 ） （13分）题三（1）图解：很小，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。将应力函数代入，可求得应力分量： ； ； 边界条件：（1）； 代入应力分量式，有 或 （1）（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：，和M = Pd由该脱离体的平衡，得将代入并积分，有 得 （2）联立式（1）、（2）求得：，代入应力分量式，得； ； 。结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2图示悬臂梁，受三角形
5、分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。（12分） 题三（2）图解：（1）求横截面上正应力任意截面的弯矩为，截面惯性矩为，由材料力学计算公式有 （1）（2）由平衡微分方程求、平衡微分方程： 其中，。将式（1）代入式（2），有积分上式，得利用边界条件：，有 即 （4）将式（4）代入式（3），有 或 积分得利用边界条件：，得：由第二式，得将其代入第一式，得 自然成立。将代入的表达式，有 （5）所求应力分量的结果： （6）校核梁端部的边界条件：（1）梁左端的边界（x = 0）：， 代入后可见：自然满足。（2）梁右端的边界（x =
6、 l）：可见，所有边界条件均满足。检验应力分量是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为将应力分量式（6）代入应力相容方程，有，显然，应力分量不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q作用，如图所示。试：（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数；（2）用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。 （13分）题二（3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为 多项式函数形式 三角函数形式此时有：即满足梁的端部边界条件。 梁的总势能为取
7、：，有，代入总势能计算式，有由，有代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为4已知受力物体内某一点的应力分量为：，试求经过该点的平面上的正应力。 （12分）解：由平面方程，得其法线方向单位矢量的方向余弦为， 弹性力学课程考试试卷学号： 姓名： 工程领域： 建筑与土木工程题号一二三四五总分得分考试时间：120分钟 考试方式：开卷 任课教师：杨静 日期：2007年4月28日一、简述题（40分）1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。 2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？3. 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和
8、边界条件？4. 写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？ 6. 试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性? 7. 试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程），。 8. 试写出应力边界条件：（1）（）图用极坐标形式写出；（2）（）图用直角坐标形式写出。 （）图 （）图二、计算题（15分）已知受力物体中某点的应力分量为：， ，。试求作用在过此点的平面上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。 三、计算题（15分）图示矩形截面悬臂梁，长为，高为，在左端面受力作用。不计体力，试求梁的应力分量
9、。（试取应力函数）四、计算题（15分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P，设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（试取应力函数） 五、计算题（15分）如图所示的悬臂梁，其跨度为。抗弯刚度为，在自由端受集中力作用。试用最小势能原理求最大挠度。（设梁的挠度曲线） 弹性力学试题（答题时间：120分钟） 班级 姓名 学号 题号一二三总 分（1）（2）（3）（4）得分一、填空题（每小题4分）1用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足： 。2弹性多连体问题的应力分量应满足 ， ， ， 。3拉甫（Love）位移函数法适用 空间问题；伽辽
10、金（Galerkin）位移函数法适用于 空间问题。4圣维南原理的基本要点有 ， ， 。5有限差分法的基本思想为： ， 。二、简述题（每小题5分）1试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。2试就下列公式说明下列问题：（1）单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关；（2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。式中：均为解析函数；均为单值解析函数。3试列写图示半无限平面问题的边界条件。题二（3）图4图示弹性薄板，作用一对拉力P。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量与板的形状无关，仅与材料的弹性模量E、泊松比 m 、两力P作用点间的距离l有关。 题二（4）图5
11、下面给出平面问题（单连通域）的一组应变分量，试判断它们是否可能。 6等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数应满足： 式中：G为剪切弹性模量；K为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。三、计算题1 图示无限大薄板，在夹角为90的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q。已知其应力函数为： 不计体力，试求其应力分量。 （13分）题三（1）图2图示矩形截面杆，长为l，截面高为h，宽为单位1，受偏心拉力N，偏心距为 e，不计杆的体力。试用应力函数求杆的应力分量，并与材料力学结果比较。 （12分） 题三（2）图3图示简支梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，受有线性分布载荷q作用。试求：（1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；（2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或Ritz法求梁挠度（w）的近似解（取2项待定系数）。 （13分）题三（3）图4图示微小四面体OABC，OA = OB = OC，D为AB的中点。设O点的应变张量为：试求D点处单位矢量v、t方向的线应变。 （12分） 题三（4）图13
