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1、菱形的性质及判定【知识梳理】1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形 判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形【例题精讲】板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条
2、对角线将菱形分成全等三角形的对数为 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【例2】如图所示，在菱形ABCD中，ABC=60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DE=BE【例3】如图，在菱形ABCD中，A=60，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E （1）求ABD的度数； （2）求线段BE的长【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分别为E、F（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线A
3、C于E连接BE（1）证明：APD=CBE；（2）若DAB=60，试问P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？【例5】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积【例6】 如图，菱形花坛的周长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积【例7】已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数【作业】1.在菱形ABCD中，AB=
4、5cm，则此菱形的周长为（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm2.如图，在菱形ABCD中，BAD=60，BD=4，则菱形ABCD的周长是_3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14 C、28 D、244.如图，菱形ABCD的周长是16，A=60，则对角线BD的长度为（ ）A2 B C4D 5.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BAD=120，AC=4，则该菱形的面积是（）A、16B、16 C、8 D、86. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）
5、A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）二、填空题7. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2第9题第8题第7题8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离 9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，ABC=60，则四边形ABCD的面积等于 cm210. （2011河北，14，3分）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数
6、分别为4和1，则BC第11题第10题11. 如图，在菱形ABCD中，BAD=60，BD=4，则菱形ABCD的周长是 三、解答题12. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。 求证：ACEACF。ADFEBC13.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（3，0）（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式14.如图所示，在菱形ABCD中，ABC 60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DEBE15. （2011湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，ACB=30，AB=2（1）求AC的长（2）求AOB的度数（3）以OB、OC
7、为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积板块二、菱形的判定【例1】如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 【例2】 如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形【例3】已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形.【例4】如图，在梯形纸片中，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形【例5】如图，在中，是的中点分别作于，于，于，于相交于点求证：四边形是菱形【作业】1有一组邻边相等的 是菱形，对角线 的四边形是菱形。 2菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，
8、则另一条对角线长为 cm，边长为 cm，高为 cm。 3菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为 。ABCDEF图3 4如图1所示，菱形ABCD中，AEBC，BE=EC，AE=2，BD= 。ABDEFC图2ABCDE图1 5如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，C= 。 6菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ） A2倍 B3倍 C4倍 D8倍 7菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A对角线互相平分 B邻角互补 C对角相等 D每条对角线平分一组对角 8如图3所示，菱形ABCD中，DEAB，DFBC，E、F为垂足，AE=EB，则EDF等于（ ） A75
9、B60 C50 D45 9下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（ ） A已知菱形的两条对角线 B已知菱形的一边和一个内角 C已知菱形的四条边 D已知菱形的周长和面积 10下列命题正确的是（ ） A有两组邻角相等的四边形是菱形 B有一组邻边相等的四边形是菱形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是菱形11菱形的周长为a，高为h，一条对角线长为h，则另一对角线的长可示为： 。12如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，求证：AFD=CBE。ABCCDCEF13如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF/BE交AD于F，连结B
10、F、CE，求证：四边形BECF是菱形。14如图，ABC中，ACB=90，B的平分线交高CD于E，交AC于F，FGAB，G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。15如图，已知BD是ABC的角平分线，AEBD交BC于E，交BD于F，FAG=FAD。连结EG、ED，求证：四边形AGED为菱形。ABCDEFG 16如图5所示，已知ABC中，AB=AC，D为BC中点，DEAC，DFAB，E，F为垂足，FGAC，EHAB，且交于Q，G、H为垂足，求证：四边形DEQF为菱形。ABCDEFGHQ图517如图，在菱形ABCD中，B=EAF=60，BAE=20，求CEF的度数。ABCDEF1. 用直尺和圆规作一个菱
11、形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（） A、一组临边相等的四边形是菱形 B、四边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2.如图若要使平行四边形ABCD成为菱形则需要添加的条件是（ ）A.ABCD B.ADBC C.ABBC D. ACBD3.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 4. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE（1）请判断四边形EFGH的形状，并
12、给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形（写出你添加的条件，不要求证明）5、如图，在平行四边形ABCD中，DAB60，AB2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AGBD，交CB的延长线于点G求证：四边形DEBF是菱形；6. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DECA，AEBD求证：四边形AODE是菱形； 矩 形知识梳理：1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半3矩形的判定判定：有一个角
