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1、任意角的三角函数及诱导公式【典例解析】题型1：象限角例1已知角；（1）在区间内找出所有与角有相同终边的角；（2）集合，那么两集合的关系是什么？解析：（1）所有与角有相同终边的角可表示为：，则令 ，得 解得 从而或代回或（2）因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：。点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；（2）可对整数的奇、偶数情况展开讨论。例2若sincos0，则在（ ）A第一、二象限 B第一、三象限C第一、四象限 D第二、四象
2、限解析：答案：B；sincos0，sin、cos同号。当sin0，cos0时，在第一象限，当sin0，cos0时，在第三象限，因此，选B。例3若A、B是锐角ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：A、B是锐角三角形的两个内角，AB90，B90A，cosBsinA，sinBcosA，故选B。例4已知“是第三象限角，则是第几象限角?解法一：因为是第三象限角，所以，当k=3m（mZ）时，为第一象限角；当k= 3m1（mZ）时，为第三象限角，当k= 3m2（mZ）时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角。
3、解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起.依次将各区域标上I、，并依次循环一周，则原来是第象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。由图可知，是第一、三、四象限角.点评：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (nN*)的终边所在的区域。题型2：三角函数定义例5已知角的终边过点，求的四个三角函数值。解析：因为过点，所以，。当； ，。当，；。例6已知角的终边上一点，且，求的值。解析：由题设知，所以，得，从而
4、，解得或。当时， ；当时， ；当时， 。题型3：诱导公式例7（2009辽宁文，8）已知，则（ ） A. B. C. D.答案 D例8化简：（1）；（2）。解析：（1）原式；（2）当时，原式。当时，原式。点评：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.题型4：同角三角函数的基本关系式例9已知，试确定使等式成立的角的集合。解析：，=。又， 即得或.所以，角的集合为：或。例10（1）证明：；（2）求证：。解析：（1）分析：证明此恒等式可采取常用方法，也可以运用分析法，即要证，只要证AD=BC,从而将分式化为整式.证法一：右边=证法二：要证
5、等式，即为只要证 2（）（）=即证：，即1=，显然成立，故原式得证。点评：在进行三角函数的化简和三角恒等式的证明时，需要仔细观察题目的特征，灵活、恰当地选择公式，利用倒数关系比常规的“化切为弦”要简洁得多。（2）同角三角函数的基本关系式有三种，即平方关系、商的关系、倒数关系.（2）证法一：由题义知，所以。左边=右边。原式成立。证法二：由题义知，所以。又，。证法三：由题义知，所以。，。点评：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的
6、另一个式子成立，从而推出原式成立（以下来自2009年各地高考试题）1.(2009海南宁夏理，5).有四个关于三角函数的命题：xR, += : x、yR, sin(x-y)=sinx-siny: x,=sinx : sinx=cosyx+y=其中假命题的是A， B.， C.， D.，答案 A2.（2009辽宁理，8）已知函数=Acos()的图象如图所示，则=（ ）A. B. C.- D. 答案 C（2009全国I文，1）的值为A. B. C. D. 答案 A5.（2009全国I文，4）已知tan=4,cot=,则tan(a+)= （ ）A. B. C. D. 答案 B6.（2009全国II文，4
7、） 已知中， 则A. B. C. D. 解析：已知中，. 故选D.7.（2009全国II文，9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案 D8.（2009北京文）“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当时，反之，当时，或，故应选A. 9.（2009北京理）“”是“”的 （ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 本题主要考查三角函数
8、的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当时，反之，当时，有， 或，故应选A.10.（2009全国卷文）已知ABC中，则A. B. C. D. 答案：D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA0排除A和B，再由选D11.（2009四川卷文）已知函数，下面结论错误的是 A. 函数的最小正周期为2 B. 函数在区间0，上是增函数 C.函数的图象关于直线0对称 D. 函数是奇函数答案 D解析，A、B、C均正确，故错误的是D【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误.12.（2009全国卷理）已知中， 则（ ）A. B. C. D. 解析：
9、已知中，. 故选D.答案 D13.（2009湖北卷文）“sin=”是“”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由可得，故成立的充分不必要条件，故选A.14.（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）A B C D答案 C解析 因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即二、填空题15.（2009北京文）若，则 .答案 解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.由已知，在第三象限，应填.16.(2009湖北卷理)已知函数则的值为 .答案 1解析 因为所以故【命题意图】在课改区高考试题中，十分重视
10、弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践.4. 函数，给出下列4个命题：在区间上是减函数； 直线是函数图像的一条对称轴；函数f（x）的图像可由函数的图像向左平移而得到；OABCNM若，则f（x）的值域是其中正确命题序号是 。5. 已知边长为4的正三角形的中心为，一个半径为8，中心角为的扇形的顶点与重合，当扇形绕着逆时针旋转时，请说明：与扇形的重叠部分的面积变化特征： 。 6. 锐角中，且，则的最大值为 7. 设则的值等于_ .8. 在ABC中，BC=1，当ABC的面积等于时，_ .9. 若的三个内角的正弦值分别等于的三个内角的余弦值
11、，则的三个内角从大到小依次可以为 （写出满足题设的一组解） ，另两角不惟一，但其和为10. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，给出下列结论：若ABC，则；若；必存在A、B、C，使成立；若，则ABC必有两解.其中，真命题的编号为 .（写出所有真命题的编号）11. 若函数对任意的存在常数,使得恒成立,则的最小正值是: 12五【思维总结】1几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置角的集合X轴正半轴Y轴正半轴X轴负半轴Y轴负半轴X轴Y轴坐标轴2、2之间的关系。若终边在第一象限则终边在第一或第三象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第二象限则终边在第一或第三象限
12、；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。若终边在第三象限则终边在第二或第四象限；2终边在第一或第二象限或y轴正半轴。若终边在第四象限则终边在第二或第四象限；2终边在第三或第四象限或y轴负半轴。3任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式.由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化.只有这样才能在高考中夺得高分。三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,。所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4运用同角三角函数关
