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1、奥赛学案:平面几何选讲 反演变换(一)基础知识一. 定义1. 设是平面上的一个定点,是一个非零常数如果平面的一个变换,使得对于平面上任意异于的点与其对应点之间,恒有(1)三点共线;(2),则这个变换称为平面的一个反演变换,记做其中,定点称为反演中心,常数称为反演幂,点称为点的反点2. 在反演变换下,如果平面的图形变为图形,则称图形是图形关于反演变换的反形反演变换的不动点称为自反点,而反演变换的不变图形则称为自反图形3. 设两条曲线相交于点,、分别是曲线在点处的切线(如果存在),则与的交角称为曲线在点处的交角;如果两切线重合,则曲线在点处的交角为特别地,如果两圆交于点,那么过点作两圆的切线,则切
2、线的交角称为两圆的交角当两圆的交角为时,称为两圆正交;如果直线与圆相交,那么过交点作圆的切线,则切线与直线的交角就是直线与圆的交角当这个交角为时,称为直线与圆正交二. 定理定理1. 在反演变换下,不共线的两对互反点是共圆的四点定理2. 在反演变换下,设两点(均不同于反演中心)的反点分别为,则有=定理3. 在反演变换下,过反演中心的直线不变定理4. 在反演变换下,不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆;过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线典型例题一. 证明点共线例1. 的内切圆与边、分别相切于点、,设、分别是、的中点求证:的外心、内心与的外心三点共线证明:如图,设的内心为,内切圆半径为以内心为反演中心,内切圆为反演圆作反演变换,则、的反点分别为、,因而的反形是的外接圆故的外心、内心和的外心三点共线二. 证明线共点 例2. 四边形内接于,对角线与相交于,设、的外心分别为、求证:、三直线共点证明:作反演变换,则、互为反点,、互为反点,不变,直线不变,的外接圆的反形是直线由于直线与的外接圆正交,因而与正交,即有又,所以;同理,所以四边形为平行四边形,从而过的中点;同理也过的中点故、三线共点