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1、高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）
2、： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病预防方案评价及选择摘要本题主要解决的是预测艾滋病的治疗效果问题以及患者对于不同治疗方案的选择问题。在第一问中，由于要综合考虑HIV以及CD4这两个因素对于药品疗效的影响，因此
3、我们将这两个指标转化为一个指标：即HIV/CD4；然后根据国际通用的艾滋病病情划分依据将题中所给数据划分为4层，通过分层抽样原则，按照比例从附录一所给出的300多名患者中抽取出32名，然后在每一层通过灰色预测得到未来40次检查时HIV/CD4的值，运用matlab拟合出的图象，我们给出HIV/CD4的阙值为0.01，最后给出每层患者的建议治疗时间：对于HIV感染末期患者：建议按此方案治疗165周；对于HIV感染严重期患者：建议按此方案治疗115.6周；对于HIV感染晚期患者：建议按此方案治疗94周；对于HIV感染中期患者：建议按此方案治疗60周在第二问的第一小问中我们将进行四种疗法的患者分开，
4、我们考虑到患者服用同一种药一段时间内，药的副作用对于不同年龄段患者的影响，我们决定再分别对各疗法中的参与者按年龄进行分层，在此我们考虑到判断治疗效果的参考量有两个：CD4的期望及其标准偏差，因此我们引入一个参考量：CD4的标准偏差/平均值，用来表征CD4的离散程度，显然离散程度越小越好，由此我们得出结论：判定方案4最好，方案3次之，方案2 最差；第二小问我们单独以CD4的值为指标，合理剔除部分数据，运用与问题一的相同模型，即灰色预测法预测出在方案四的治疗下76名患者在未来10次检查中的CD4含量，从而判定如下结论：当患者在未来两次的检查中发现CD4的减少率不变或者增大，建议停止此种方案治疗；相
5、反当患者在未来两次内并无发现此种情况，建议继续用此方案治疗；第三问中，我们考虑在不发达国家，患者对于金钱的输出，其感情因素是不可忽略的，因此我们引入一个新的参考量作为患者的决策量，即药效与药费的比值，用来表征单位费用下的药效情况，我们称之为效价比；患者会选择效价比比较高的作为其首选对象，由此我们得出结论：在不发达国家，患者会考虑其金钱输出而选择方案1进行治疗。问题重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HI
6、V）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。 艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。ACTG320是同时服用zidovudine，lamivudine和indinavir3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A是将130
7、0多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine，这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine。需解决以下问题：（1）利用ACTG320的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继
8、续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用193A的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。（3） 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。模型假设1、 实验机构的病人服药情况及效果能反映普
9、遍情况；2、 各病人之间不存在病情影响；3、 各病人的测试时间间隔不影响预测结果；4、 不同的病人的测试次数不影响预测结果；5、 各病人在服药过程中无病情突然恶化等意外事故发生；6、 在第二问中我们假设忽略病情所处阶段的影响符号说明：原始时间序列下H/C的值；：一次累加生成的新数列H/C的值；h: HIV的浓度；c:CD4的浓度；：发展灰数；：内生控制灰数；：第i种疗法的log(CD4+1)的值；：运用第i种疗法，年龄段在第j阶段的log(CD4+1)的值；：运用第i种疗法，年龄段在第j阶段的log(CD4+1)的值的总和；：第i种疗法的log(CD4+1)的标准差；： 运用第i种疗法，年龄段
10、在第j阶段的标准差；：运用第i种疗法，各年龄段标准差的总和；：运用i种疗法分成的总的年龄段的个数；：运用第i种疗法，年龄段在第j阶段的总人数；：运用第i种疗法时，每天的药费；：表示第i种方案下的治疗效果；：第i种方案的用药时间；：第i种疗法的效价比；：第i种疗法的CD4离散程度；：第i种疗法的费用；背景说明以CD4数值为准。美国疾病管制中心对AIDS的定义是：无论有否典型病状，若CD4少于200 count/cc，则被认定为AIDS。在台湾，CD4少于200 count/cc并且有伺机性感染才称为AIDS。Saag（1997）CD4数值将艾滋病期分为六期。初期发生急性症状而抗体阳性化此期间CD
11、4值降低，而后有短暂的反应性升高。HIV感染初期，约近于一半感染者在感染后约2-6周内会有类似“传染性单核增多症”，即发烧、淋巴腺肿、喉痛、皮肤发疹、肌疼、关节痛、下痢、头痛、呕吐或各种轻度神经症状（包括迷惑、记忆力减退、痴呆、意识或性格变化等），如此症状可望2-3周内自然消失。 1. 早期此时期CD4数值尚多于500/mm3，而感染者通常无症状，少数感染者有淋巴腺肿，如此淋巴腺肿可认为系自急性感染期继续之残留。到底淋巴腺肿意义如何？虽然学者间意见不一，现在多数相信淋巴腺肿消失，可能病程快速恶化。在此时期淋巴腺肿通常发生在颈部、腋下或鼠蹊部；而少见于纵膈或大动脉旁。 2. 中期此期CD4保持2
12、00-500/mm3间，虽然伺机性感染可能会发生，但较少见，且症状并不严重。在中期皮肤及口腔病变逐渐常见而严重化。口腔或阴道之念珠菌感染时常发生。在此时期其它全身性症状尚包括：肌疼、关节痛、疲倦、肾伤害、呼吸系统之炎症等，此后病程进展较速，而且普通细菌性感染也时常发生。3. 晚期此时期CD4数值为50-200mm3。据1993年美国疾病管制中心之定义为CD4降至200/mm3以下患者一律算为AIDS；其根据来自多数临床经验，CD4降至200/mm3时各种新的伺机性感染显著增加最常见者为肺囊虫肺炎（Pneumocystis carinii pneumonia）。 4. 晚期病患常见之伺机性感染，
13、包括了弓形虫（Toxoplasma gondii）感染、腹膜炎、Cryptosporidiosis、Isosporiosis、结核、B细胞淋巴瘤、卡氏肉瘤与食道念珠菌症等。其它肌疼、关节痛、发热、消瘦等全身症状，比起中期较严重；神经炎、脑神经麻痹、脊椎炎等神经症状也时常发生。在此晚期，贫血、嗜中性白血球降低或低血小皮性紫斑亦较常见。晚期之AIDS病患若是不予治疗，通常病患在18-24个月内死亡。 5. 严重期若是CD4细胞降至50/mm3以下时则陷入严重期，而常发生各项伺机性感染，包括非典型结核菌（Mycobacterium avium complex，MAC）、阴囊球菌（Cryptococc
14、us neoformans）感染、CMV网膜炎、菌症、Pericillum marneffie等感染症等；而且上述各种感染可同时发生或再发，因此化学与预防治疗甚为复杂。6. 末期末期在Saag之报告并无规定CD4数值，惟台大医院特定CD410mm3者。虽然也有报告指出，在此末期病人经过各种治疗与照顾后，而存活期长达5-7年之久，但大部分病人在2年以内死亡。经验的累积显示HIV感染后，病程进展依个人而差异甚大，有的感染HIV后几个月就演变成AIDS，有的经15-20年仍可维持健康（Long-term non-progresser），但多数临床家同意：平均感染HIV至发病成AIDS约10-12年。模型建立一、 最佳治疗终止时间确定模型由题目所给的附录1的数据可知我们的预测数据为两种：CD4的值和HIV的值，由上面的背景说明我们可
