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1、 三角形五大模型 【专题知识点概述】本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。重点模型重温一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等;两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如右图夹在一组平行线之间的等积变形,如右图;反之,如果,则可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比二、等分点结论(“鸟头定理”)如图,三角形AED占三角
2、形ABC面积的= 三、任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”) S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4 AOOC=(S1+S2)(S4+S3)梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) S1S3=a2b2S1S3S2S4= a2b2abab ; S的对应份数为(a+b)2模型四:相似三角形性质如何判断相似(1)相似的基本概念:两个三角形对应边城比例,对应角相等。(2)判断相似的方法:两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似;两个三角形若有两条边对应成比例,且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。 ; S1S2=a2A2 模型五:燕尾定理SABG:SAGCSBGE:SGECBE:EC;SB
3、GA:SBGCSAGF:SGFCAF:FC;SAGC:SBCGSADG:SDGBAD:DB;【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”【竞赛考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【习题精讲】【例1】(难度等级 )如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H为AD边上的任意一点,求阴影部分的面积.【例2】(难度等级 )如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是_平方厘米【例3】(难度等级 )如图,在三角形ABC中,
4、BC=8 厘米,AD=6厘米,E、F分别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方厘米?【例4】(难度等级 )如图,在面积为1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中点,延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【例5】(难度等级 )如右图BE=BC,CD=AC,那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几?【例6】(难度等级 )如图所示,四边形ABCD与AEGF都是平行四边形,请你证明它们的面积相等【例7】(难度等级 )如图,在长方形ABCD中,Y是BD的中点,Z是DY的中点,如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角形ZCY的面积【例8】(难度等级 )
5、如图,正方形ABCD的边长为4厘米,EF和BC平行, ECH的面积是7平方厘米,求EG的长。【例10】(难度等级 )如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的边长为10厘米,那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米? 【例11】(难度等级 )如图,一个长方形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴影部分的面积为?【例12】(难度等级 )如图,平行四边形ABCD周长为75厘米,以BC为底时高是14厘米;以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。【例13】(难度等级 )如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,ABE、ADF与四边形AECF的面积彼
6、此相等,求三角形AEF的面积.【例14】(难度等级 )如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几?【例15】(难度等级 )某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,AOB面积为1平方千米,BOC面积为2平方千米,COD的面积为3平方千米,公园陆地的面积是6.92平方千米,求人工湖的面积是多少平方千米?【例16】(难度等级 )图中是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米问:阴影部分的面积是多少平方厘米?【作业】1. 如图,三角形中,三角形ADE的面积是20平方厘米,三角形的面积是多少?2. 如右图所
7、示,在长方形内画出一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49那么图中阴影部分的面积是多少?3. 右图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米, 求三角形ABC的面积。4. 如图,平行四边形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四边形ABCD的面积是2, 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比. 5. 如图,在ABC中,延长BD=AB,CE=BC,F是AC的中点,若ABC的面积是2,则DEF的面积是多少?【例1】(难度等级 )如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H为AD边上的任意一点,求阴影部
8、分的面积.【分析与解】 如右图,连接BH、HC,由E、F、G分别为AB、BC、CD三边的中点有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此S1=S2,S3=S4,S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6,空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等,均为长方形的一半,即阴影部分面积为28.【例2】(难度等级 )如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是_平方厘米【分析与解】 上排4个阴影三角形的高都等于BF,底边之和恰好为AB,他们的面积之和为;下排4个三角形的高都等于CF,底边之和恰好为CD,他们的面积之和为.所以阴
9、影部分面积为:(平方厘米).【例3】(难度等级 )如图,在三角形ABC中,BC=8 厘米,AD=6厘米,E、F分别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方厘米?【分析与解】首先,平方厘米,而F是AC中点,所以.又E是AB中点,所以平方厘米. 【例4】(难度等级 )如图,在面积为1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中点,延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【分析与解】 连接DE,于是三角形AEF的面积=三角形EFD的面积,所求被转化为三角形EDC的面积。因为F是AD中点,所以三角形AEC的面积和三角形EDC的面积相等,设SBDE为1份,则SAEC=S
10、EDC为3份 因此SABC一共7份,每份面积为 所以SEDC占3份为。【例5】(难度等级 )如右图BE=BC,CD=AC,那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几?【分析与解】 上图中,三角形AEC与三角形ABC的高相等,而BE=BC,于是EC=BC, 又由于三角形AED与三角形AEC的高相等,而CD=AC,于是AD=AC, 所以,三角形AED的面积=三角形AEC的面积=三角形ABC的面积 =三角形ABC的面积 【例6】(难度等级 )如图所示,四边形ABCD与AEGF都是平行四边形,请你证明它们的面积相等【分析与解】连接BE显然有,所以【例7】(难度等级 )如图,在长方形ABCD中,
11、Y是BD的中点,Z是DY的中点,如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角形ZCY的面积【分析与解】平方厘米因为Y是BD中点,Z是DY中点,所以【例8】(难度等级 )如图,正方形ABCD的边长为4厘米,EF和BC平行, ECH的面积是7平方厘米,求EG的长。【分析与解】EGAE +EGEB = 7平方厘米即EGAB=7平方厘米;EG=3.5厘米【例10】(难度等级 )如图已知四边形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的边长为10厘米,那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米? 【分析与解】 连接CF由ABCD和CEFG都是正方形有所以.由平行线间距离相等知三角形BDF和三角形BDC
12、同底等高所以【例11】(难度等级 )如图,一个长方形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴影部分的面积为?【分析与解】 如右图,已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12 x=67.【例12】(难度等级 )如图,平行四边形ABCD周长为75厘米,以BC为底时高是14厘米;以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。【分析与解】BC14=CD16,BC:CD=16:14,BC+CD=,BC=20ABCD面积=1420=280(平方厘米)【例13】(难度等级 )如右图,正方形ABCD的边长为6厘米,ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等,
13、求三角形AEF的面积.【分析与解】因为ABE、ADF与四边形AECF的面积彼此相等,所以四边形AECF的面积与ABE、ADF的面积都等于正方形面积的三分之一,也就是: 在ABE中,因为AB6.所以BE4,同理DF4,因此CECF2,ECF的面积为2222所以(平方厘米)【例14】(难度等级 )如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几?【分析与解】由BD=DC有;由,有.由鸟头定理有,故.【例15】(难度等级 )某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,AOB面积为1平方千米,BOC面积为2平方千米,COD的面积为3平方千米,公园陆地的面积是6.92平方千米,求人工湖的面积是多少平方千米?【分析与解】由任意四边形的蝴蝶定理有所以平方千米,故公园总面积为平方千米,人工湖面积为平方千米【例16】(难度等级 )图中是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米问:阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示,为了方便所叙,将某些点标上字母,并连接BG设AEG的面积为x,显然EB