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1、 89第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1); 解 根据施密特正交化方法, , , . (2). 解 根据施密特正交化方法, , , . 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1); 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2). 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x为n维列向量, xTx=1, 令H=E-2xxT, 证明H是对称的正交阵. 证明 因为 HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是对称矩阵. 因为 HTH=HH=(E-2xxT
2、)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩阵. 4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵. 证明 因为A, B是n阶正交阵, 故A-1=AT, B-1=BT, (AB)T(AB)=BTATAB=B-1A-1AB=E,故AB也是正交阵. 5. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解 , 故A的特征值为l=-1(三重). 对于特征值l=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1, 1, -1)T, 向量p1就是对应于特征值l=-1的特征值向量. (2); 解
3、 , 故A的特征值为l1=0, l2=-1, l3=9. 对于特征值l1=0, 由,得方程Ax=0的基础解系p1=(-1, -1, 1)T, 向量p1是对应于特征值l1=0的特征值向量. 对于特征值l2=-1, 由,得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1, 1, 0)T, 向量p2就是对应于特征值l2=-1的特征值向量. 对于特征值l3=9, 由,得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2, 1/2, 1)T, 向量p3就是对应于特征值l3=9的特征值向量. (3). 解 , 故A的特征值为l1=l2=-1, l3=l4=1. 对于特征值l1=l2=-1, 由,得方程(A+E)x=
4、0的基础解系p1=(1, 0, 0, -1)T, p2=(0, 1, -1, 0)T, 向量p1和p2是对应于特征值l1=l2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值l3=l4=1, 由,得方程(A-E)x=0的基础解系p3=(1, 0, 0, 1)T, p4=(0, 1, 1, 0)T, 向量p3和p4是对应于特征值l3=l4=1的线性无关特征值向量. 6. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同. 证明 因为|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同. 7. 设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)n, 证明
5、A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 证明 设R(A)=r, R(B)=t, 则r+tn, 故a1, a2, , an-r, b1, b2, , bn-t必线性相关. 于是有不全为0的数k1, k2, , kn-r, l1, l2, , ln-t, 使k1a1+k2a2+ +kn-ran-r+l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r=0.记 g=k1a1+k2a2+ +kn-ran-r=-(l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r), 则k1, k2, , kn-r不全为0, 否则l1, l2, , ln-t不全为0, 而l1b1+l2b2+ +ln-rbn-r=0, 与b1, b2,
6、, bn-t线性无关相矛盾. 因此, g0, g是A的也是B的关于l=0的特征向量, 所以A与B有公共的特征值, 有公共的特征向量. 8. 设A2-3A+2E=O, 证明A的特征值只能取1或2. 证明 设l是A的任意一个特征值, x是A的对应于l的特征向量, 则 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因为x0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2. 9. 设A为正交阵, 且|A|=-1, 证明l=-1是A的特征值. 证明 因为A为正交矩阵, 所以A的特征值为-1或1. 因为|A|等于所有特征值之积, 又|A|
7、=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即l=-1是A的特征值. 10. 设l0是m阶矩阵AmnBnm的特征值, 证明l也是n阶矩阵BA的特征值. 证明 设x是AB的对应于l0的特征向量, 则有 (AB)x=lx, 于是 B(AB)x=B(lx), 或 BA(B x)=l(Bx), 从而l是BA的特征值, 且Bx是BA的对应于l的特征向量. 11. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3, 求|A3-5A2+7A|. 解 令j(l)=l3-5l2+7l, 则j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值, 故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)j(2)j(3)=32
8、3=18. 12. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|. 解 因为|A|=12(-3)=-60, 所以A可逆, 故 A*=|A|A-1=-6A-1, A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E. 令j(l)=-6l-1+3l2+2, 则j(1)=-1, j(2)=5, j(-3)=-5是j(A)的特征值, 故 |A*+3A+2E|=|-6A-1+3A+2E|=|j(A)| =j(1)j(2)j(-3)=-15(-5)=25. 13. 设A、B都是n阶矩阵, 且A可逆, 证明AB与BA相似. 证明 取P=A, 则P-1ABP=A-1ABA=BA,即AB与BA相似.
9、14. 设矩阵可相似对角化, 求x. 解 由,得A的特征值为l1=6, l2=l3=1. 因为A可相似对角化, 所以对于l2=l3=1, 齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解, 因此R(A-E)=1. 由知当x=3时R(A-E)=1, 即x=3为所求. 15. 已知p=(1, 1, -1)T是矩阵的一个特征向量. (1)求参数a, b及特征向量p所对应的特征值; 解 设l是特征向量p所对应的特征值, 则 (A-lE)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. (2)问A能不能相似对角化？并说明理由. 解 由,得A的特征值为l1=l2=l3=1. 由知R(A-E)=2,
10、所以齐次线性方程组(A-E)x=0的基础解系只有一个解向量. 因此A不能相似对角化. 16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: (1); 解 将所给矩阵记为A. 由=(1-l)(l-4)(l+2),得矩阵A的特征值为l1=-2, l2=1, l3=4. 对于l1=-2, 解方程(A+2E)x=0, 即,得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得. 对于l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即, 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得. 对于l3=4, 解方程(A-4E)x=0, 即,得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得. 于是有正交阵P=(p1, p2
11、, p3), 使P-1AP=diag(-2, 1, 4). (2). 解 将所给矩阵记为A. 由=-(l-1)2(l-10),得矩阵A的特征值为l1=l2=1, l3=10. 对于l1=l2=1, 解方程(A-E)x=0, 即,得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得 , . 对于l3=10, 解方程(A-10E)x=0, 即,得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得. 于是有正交阵P=(p1, p2, p3), 使P-1AP=diag(1, 1, 10). 17. 设矩阵与相似, 求x, y; 并求一个正交阵P, 使P-1AP=L.
12、解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然l=5, l=-4, l=y是L的特征值, 故它们也是A的特征值. 因为l=-4是A的特征值, 所以,解之得x=4. 已知相似矩阵的行列式相同, 因为, ,所以-20y=-100, y=5. 对于l=5, 解方程(A-5E)x=0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T, (1, -2, 0)T. 将它们正交化、单位化得, . 对于l=-4, 解方程(A+4E)x=0, 得特征向量(2, 1, 2)T, 单位化得. 于是有正交矩阵, 使P-1AP=L. 18. 设3阶方阵A的特征值为l1=2, l2=-2, l3=1; 对应的特征向量依次为p1=(0, 1, 1)T, p2=(1, 1, 1)T, p3=(1, 1, 0)T, 求A. 解
