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1、第二章 微积分的直接基础-极限,第一节 数列极限,主要内容： 数列、数列极限的概念,早在两千多年前，人们从生活、生产实际中产生了朴素的极限思想，公元前4世纪，我国的庄子就有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的名言.17世纪上半叶法国数学家笛卡儿（Descartes）创建解析几何之后，变量就进入了数学.随之牛顿（Newton、英国）和莱布尼兹（Leibniz、德国）集众多数学家之大成，各自独立地发明了微积分，被誉为数学史上划时代的里程碑.微积分诞生不久，便在许多学科中得到广泛应用，大大推动那个时代科学技术的发展和社会进步.在经过长达两个世纪的自身理论不断完善的过程，才建立了极限理论.可见“极限”是
2、微积分的基础.,阿基里斯追龟,一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前496前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题.大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！,假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等.当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！,让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里斯跑
3、了10米时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，龟又前进了0.1米，阿再追0.1米，龟又进了0.01米把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数： 10，1，0.1，0.01，102n， 这称为数列，an 102n 为通项，数列常简记为 an . 所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为,所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！,然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的问题与无限纠缠在一起，以至于在相当长时间内不得不把“无限”排除在数学之外.直到19世纪，当反应变量无限变化极限理论建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战.,一列数： 10，1，0.1，0.01，102n， 称为
4、数列. 102n为通项.,初始长度为：1,一、数列的极限（问题的引入）：,在庄子天下篇中有截丈问题的精彩论述：,第一天剩的长度为：,截丈问题：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,第二天剩的长度为：,截丈问题：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,第三天剩的长度为：,截丈问题：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,第四天剩的长度为：,截丈问题：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,这样可以看出第n 天剩的长度为：,一尺之棰，日取 其半，万世不竭.,于是得到了数列:,当n 越来越大时,棰越来越短,逐渐趋于0. 再看一下整个过程.,举例:,这个数列的通项是:,这个数列的通项是:,数列极限的定义(定性描述)
5、:,若该数列不以任何常数为极限，则称这个数列发散.,也称该数列收敛.,这个定义是在运动观点的基础上凭借几何图像产生的直觉用自然语言作出的定性描述.,注： 中各项均为相同的数（常数) 1,我们 把这样的数列称作常数列.因为不论 n 取 何值，每项都是1，因此该数列的极限是 1., 2, 4, 6, , 2n, , 1, 1, ,1, 1,这个数列的通项是:,这个数列的通项是:,数列有以下几种变化趋势:,数列的变化 趋势,下面我们直观的看一下极限的定义,在数学中一定要力避几何直观可能带来的错 误，因此作为微积分逻辑演绎基础的极限概念， 必须将凭借直观产生的定性描述转化为用形式 化的数学语言表达的，
6、超越现实原型的理想化 的定量描述.,播放,当 n 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,图形演示,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,定义 如果对于任意给定的正数（不论它多 么小）总存在着相应正整数N，使得满足nN的 一切n，不等式,注：,该数列有一定的发展趋势趋向于无穷大，并不收敛，所以 2n 无极限.为叙述方便，可以说 2n 的极限是+.,因为n 时，2n 逐渐变得无穷大，并不趋近于 某个常数.但
7、由于2n 的变化趋势是逐渐增大的， 所以又可认为该数列趋于无穷大.即,第二节 函数的极限,主要内容： 一、函数极限的概念 二、无穷大量与无穷小量 三、极限的四则运算及两个 重要极限,一、 时（自变量趋于有限数）,有关函数极限的说明：, 函数在某点的极限与函数在这点的函数值是否存在，以及取值是多少并没有关系., 函数在该点的极限只与函数在该点附近的变化趋势有关系.,对于任意的,存在,几何解释:,注意：,例1,证明,例2,证明,即常数的极限就是该常数.,二、 时（自变量的绝对值无限增大时的情形）,在x时，sinx并不向某个点逼近，所以无极限.,四、函数极限的性质,五、无穷大量与无穷小量,1) 无穷
8、大量,注:无穷大是变量,并不是非常大的有限数.,注意:,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.,（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆.,（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.,注：,2)无穷小量,例,变量、极限与无穷小量的关系定理:,1、有限个无穷小量的代数和是无穷小量.,无穷小量的性质：,例,2、无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量.,3、无穷小量与无穷小量的乘积是无穷小量.,例,4、常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量.,例,当 x 2时,sin(x2 ) 是无穷小量，所以 3 sin(x2) 是当x 2时的无穷小量.,无穷小与
9、无穷大的关系,在 x 变化同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,意义: 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,无穷小量,无穷大量,如,定理,推论1,这意味着,常数因子可以提到极限符号的外面.,六、极限的四则运算,推论2,这意味着,求一个函数 n 次幂的极限等于该函数极限值的n 次幂.,例,代数和的极限等于极限的代数和.,在对商求极限时,若分母不为0，商的极限等于先求极限后,再做除法.,例,要看分子,分母能否因式分解，并约分.,当分母的极限为 0 的情形，,例,1. 要看能否因式分解；,对于分母求极限为0的情形，,2. 考虑利用无穷小的倒数是无穷大这一性质
10、.,例,例,解,无穷小量分出法,比如：,解,例,有理化法,1),七、两个重要的极限,其中，,2),第三节 极限应用的一个例子-连续函数,主要内容： 一、连续函数概念 二、初等函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质,一、连续函数 连续函数是微积分研究的主要对象.,增量的定义 设函数 y = f (x)的定义域是X,当 自变量从定点 x0 变化到新的点x 时,它们的差 称为自变量的增量(或叫做改变量).记做,注意:x可能是正的,也可能 是负的.比如：,下面的问题帮助我们理解连续的定义：,连续函数的定义,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,这个定义可以帮助理解函数在一点连续 的本质： 自变量
11、变化很小时，函数值的变化也很小.,在考虑函数的连续性时，我们一般分三步考虑：,例1 证明 y = sinx 在定义域内连续.,由于,于是,证,因此 y = sinx 在定义域内连续.,于是,f (x),函数的间断点,从图形中可以看出 x = 1是分段点,二、连续函数求极限的法则,三、初等函数的连续性,例如,四则运算的连续性,反函数和复合函数的连续性,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续 反函数.,推论 反三角函数在其定义域内皆连续.,该定理表明极限符号可以与函数符号互换.,初等函数的连续性, 基本初等函数在定义域内是连续的., 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指定义域内的子区间.,例,例6,解,解,1）最大值和最小值定理,四、闭区间上连续函数的性质,注意:定理中的两个条件缺一不可. 若区间是开区间，定理不一定成立; 若区间内有间断点，定理不一定成立.,例如:,f（x）无最大值和最小值.,
