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1、西南财经大学Southwestern University of Finance and Economics课程名称： 高级金融时间序列分析年级专业： 数量经济学(2015级)姓 名： 王建业 学 号： 2成 绩： 2016年06月基于Copula函数的金融时间序列模型述评摘要：结合当前Copula函数及其应用的热点问题，着重评述了基于Copula函数的金融时间序列模型的应用。鉴于利用Copula可以将边际分布和变量间的相依结构分开来研究这一优良性质，在设定和估计模型时便显得极为方便和灵活。从模型的构造、Copula函数的选择、模型的估计以及拟合优度检验等几方面展开阐述和评价，介绍了Copul
2、a模型在金融领域中的几类应用，并对Copula理论和应用的新视角进行了展望。关键词：Copula函数；相依结构；金融时间序列一、引言在金融市场中，资产定价、投资组合、溢出效应、风险管理等问题都涉及相关性分析。线性相关系数，作为传统的相关性分析手段，由于其计算简单在实践中得到广泛应用。但是，线性相关系数要求变量间的关系是线性且方差为有限，在实际应用中往往得不到满足，例如金融市场中不少数据表现出厚尾特征，有些时候方差还根本不存在，因此用线性相关系数来刻画相关性存在很大的问题。只有当变量的联合分布服从椭圆分布如二元正态分布时，联合分布才能由变量间的相关系数和边缘分布唯一确定。为了克服传统的相关性统计
3、分析的不足，最早由Skar提出Copula理论表现出极大的优越性，并在金融领域中被广泛采用。首先，Copula函数不限制边缘分布的选择，可运用构造灵活的多元分布；其次，在建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究，其中它们的相依结构可由一个Copula函数来描述，这使建模问题大大简化并易于理解。另外，如果对变量作非线性的单调增变换，线性相关系数的值会发生改变，而由Copula函数导出的一致性和相依性测度的值则不会改变，因此由Copula函数导出的一致性和相依性测度应用范围更广、实用性更强。随着计算机技术的快速发展，Copula理论在近十几年来得以迅速发展并成为金融领域的主
4、要分析工具。目前国内有关Copula函数的研究基本局限于实证方面，在应用和理论方面都缺乏深层次的分析。鉴于此，本文对Copula理论与应用近几年新的研究进展进行系统的梳理，客观评价相应研究的可行性和局限性，结合最新文献试图提出一些进一步可拓展和思考的方向。二、模型的构造目前，运用Copula理论及其应用的范围涉及多个领域，研究的视角也存在很大差异，但有关Copula函数涉及的主要问题是函数形式和估计方法。Embrechts等对不同Copula函数模型进行了比较研究，发现采用不同形式的Copula函数可能导致完全不同的分析结果。虽然Embrechts等曾就Copula函数的选择问题提出了相应的建
5、议，但这一问题并未得到很好解决。在实际操作中Copula函数的选择在很大程度上依赖于样本数据的特征和拟合优度检验。为便于下文叙述，先给出Copula函数的定义和重要的Skar定理。更多相关概念可以参看Nelsen对Copula理论的介绍。本文限于篇幅，不再详细赘述。定义1称实函数是一个Copula函数，若其满足条件：(1)对每个分量来说都是增函数；(2)对任意，都有；(3)对于，以及，有下式成立：，其中，对于每个。定理1(Skar定理)令是边际分布函数的联合累积分布函数，则一定存在一个Copula函数使得对于所有，有下面等式：.如果均为连续函数，则存在唯一的Copula函数使得上述等式成立。相
6、反地，如果是一个Copula函数并且是一元累积分布函数，则上述等式所决定的函数是的联合分布函数。由Skar定理立即可得：，其中是的分位数，。Skar定理的重要作用在于通过Copula函数将边际分布函数巧妙结合，使得研究者在考察多个随机变量的联合分布时，可以将其分解为Copula函数和多个单变量分布函数来考虑整个联合分布的相关结构，从而解决了由随机向量边缘分布难以推导出联合分布的难题，为多元统计分析提供了一种便捷的新方法。众所周知，金融时间序列的条件分布呈现时变波动、波动聚集、偏斜厚尾等特征，通常采用GARCH类模型以及随机波动率模型来描述这些特征。然而，由于金融市场之间的相关关系变化受各种因素
7、的干扰而呈现出一定的复杂性，使得有时在估计这些模型参数时存在极大的技术困难。将Copula函数和这些模型结合到一起便能很容易地捕捉到时间序列之间的动态相依结构，常见的Copula函数的时间序列模型有CopulaGARCH模型、CopulaSV模型、时变Copula模型、RSCopula模型等。CopulaGARCH模型中的GARCH描述的是各变量的条件边际分布，Copula函数刻画的是变量之间的条件相关关系。对上述模型进行适当调整，便可以描述金融市场波动的不同特征，比如波动的非对称性、波动的持续性等。与GARCH模型不同，随机波动率模型（SV）中的波动特征是由一个潜在的随机过程来描述的。在实际
8、应用中，SV模型具有厚尾性，因为对于那些表现出明显的尖峰厚尾特征的数据序列，用CopulaSV模型能够更好地捕捉到时间序列之间的相依结构。CopulaGARCH模型和CopulaSV模型虽然能够很好地描述时间序列的统计特征，在考察序列之间的相依结构时也具有比较强的灵活性，然而却假定相依参数不会随时间变化而变化。事实上，金融市场本身会随着国家宏观经济政策的调整、外部市场环境的变化而变化，也就是说，金融市场间的相依结构可能会随时间的推移而发生改变，因而金融市场间相关系数也会随时间变化，Engle通过实证研究验证了这一事实。进一步可以肯定用来研究随机变量间的非线性相依结构的Copula函数中相依参数
9、也会表现出时变特征。很自然的一个问题便是如何确定时变Copula中的参数随时间变化的演化方程。Patton提出基于时变Copula相依结构的多元时间序列模型，类似于CopulaGARCH模型。不同的是，Copula函数中的时变参数服从一设定的动态方程。如果使用正态Copula描述变量间的相依关系，则时变Copula参数服从下面的动态方程：其中为单调递增的转换函数，用于限定时变参数落在区间。对于非高斯分布，Patton建议对对称化的Joe-ClaytonCopula中的上尾相依参数和下尾相依参数进行建模，这两个参数都是时变Copula参数的单调变换。一般服从过程：其中是一个变换，确保相依参数总是
10、能够落到其值域中去，对于尾部相依来说，；对于ClaytonCopula来说，；对于GumbelCopula而言，。金融市场中许多实证结果表明，收益率与交易量间具有明显的尾部相依性并且上下尾部具有不对称性。为了既可以刻画极端市场条件下收益间的尾部相依性，又能兼顾考察时变特征，Garcia等引入了RSCopula模型（RegimeSwitchingCopula），以便刻画尾部相依性的动态特征以及结构突变。尾部相依关系衡量了异常事件发生时序列间的极值联动关系。在几种常用的Copula函数中，高斯Copula的尾部相依性为；Student-tCopula的上下尾部对称；ClaytonCopula和Su
11、rvialGumbelCopula可用来描述下尾部相依关系，而GumbelCopula和SurvialClaytonCopula可用来描述上尾部相依关系。对于上述不同的Copula函数，可以使用AIC和BIC准则选择最优的Copula函数以刻画尾部相依特征，当Copula函数的密度函数已知的情况下，不必对原始数据做任何变换，采用贝叶斯理论的MCMC方法并基于DIC准则来估计Copula函数。三、Copula模型的选择上文在构造模型时，所强调的只是对边缘分布的刻画，并没有对Copula函数的具体形式给出说明，然而Copula函数族中有很多函数类型，不同的Copula函数对变量间的相关结构的刻画各
12、有所长，因此有必要对Copula函数的选择标准给予介绍。本文的目的当然是选择达到最优拟合效果的Copula函数，能够有能力捕捉到具有时变特征的相依过程。Copula函数中的相依参数与几种重要的一致性相关性指标，如Kendall、Spearman等常常有一一对应的关系，因此通过这些传统的一致性和相关性指标，使不同的Copula函数之间具有了可比性。为了更深入地探讨以上几种Copula函数的分布特性，图中给出了几种常见的Copula函数的分布密度图（其中秩相关系数3）。从以上列举的几个Copula函数可以看出，不同Copula函数在描述相依结构时显示出明显差异。二元GaussianCopula分布
13、具有对称性，可以用来描述具有对称性的相依结构，却无法捕捉分布尾部相关性的变化，而具有同样对称结构的FrankCopula函数则更能捕捉到分布尾部相关性的变化。Gumbel和ClaytonCopula函数可以用来描述变量间非对称的相依结构，GumbelCopula函数在捕捉上尾相依结构时具有优势，而ClaytonCopula函数则侧重于捕捉变量间下尾相依结构。然而金融市场千变万化，实践中很难用一种Copula函数就能很好地刻画市场间的相依关系，从而股票市场间的相关性都增大，比如说一般情况下股票市场出现暴跌或暴涨时市场间的相依关系都会明显增强并且通常上下尾部表现出非对称的特征，在这种情况下，用一种
14、函数来刻画金融市场间的相依结构，只能反映金融市场之间相依结构变化的一种特征。很自然的想法是可以选用由Gaussian、Frank、Gumbel、Clayton、GumbelSurvialCopula等其中若干种函数的线性组合构造的混合Copula（MCopula）函数来刻画市场间的相依结构。图2给出了Gaussian（C1）、Gumbel（C2）和SurvialGumbelCopula（C3）三种函数在三种不同权重组合下的混合函数轮廓图。组合1：，；组合2：；组合3：，其中MCopula表达式为：事实上，MCopula函数不仅可以涵盖它所包含的各种Copula函数的特性，而且通过选择不同权重系
15、数组合还可以构造这些Copula函数的各种线性组合的混合特性。在实际应用中可以考虑选取一组权重系数用一个Copula函数来描述具有各种相依结构的金融市场间的关系，以便能够捕捉到金融市场中各种复杂的相依结构模式。四、基于Copula函数的时间序列模型的估计方法对Copula模型的参数估计广为采用的方法是极大似然估计，通过Copula密度函数和边际密度函数可以求出联合分布的密度函数，进一步可以得到样本的对数似然函数，根据多元函数的极值理论可以得到参数的极大似然估计量，但问题是同时估计所有参数会因为参数过多而使估计变得复杂。鉴于Copula函数可以将边际分布和联合分布分开来研究这一优良性质，因而在实
16、践中一般采用两阶段极大似然估计法来估计模型中的参数，即首先估计出边际分布函数中的参数，然后将估计值当做已知数代入Copula函数中，从而得到Copula函数中的极大似然估计值。当然两阶段极大似然估计在有效性方面要弱于一般的极大似然估计，然而Patton等通过仿真模拟发现两者在有效性方面差别并没有太大差别。为了获得完全有效的参数估计，可以采用极大似然推断的多阶段迭代估计方法。从Skar定理可以看出Copula模型的良好性质，多元联合分布函数可以通过一个Copula函数来实现，联合分布函数中的参数估计可以对边际分布和Copula函数的参数分别进行估计。当边际分布的形式难以给定时，可以构建基于Copul
