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1、球与多面体的内切、外接,东营河口,二、球与多面体的接、切,定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。,定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 。,多面体的外接球,多面体的内切球,球内切与正方体 则球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？,中截面,设为1,球的外切正方体的棱长等于球直径。,中截面,正方形的对角线等于球的直径。,球内切于正方体的棱,对角面,设为1,球的内接正方体的对角线等于球直径。,球外接于正方体,练习：,沿对角面截得：,1、三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC
2、两两垂直，PA=1， ，已知空间中有一 个点到这四个点距离相等，求这个距离；,1,例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ),在正三棱锥中，BE 是正BCD的高，,O1 是正BCD的中心，且AE 为斜高,解法1：,作 OF AE 于 F,设内切球半径为 r，则 OA = 1 r, Rt AFO Rt AO1E,设球的半径为 r，则 VA- BCD =,VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD,解法2：,例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,注意：割补法，,
3、练习,例3 求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外接球的表面积,过侧棱 PA 和球心 O 作截面,则截球得大圆，截正四面体得PAD，如图所示,连 AO 延长交 PD 于 G,则 OG PD，且 OO1 = OG, Rt PGO Rt PO1D,解法1：,解法2：,球的内切、外接问题,5、体积分割是求内切球半径的通用做法。,1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。,2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。,3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。,4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。,2、求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外接球的表面积。,1、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为 ，求半球的表面积和体积。,作业：,第二题截图,A,3.,C,1.,2.,C,
