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1、坐标系与参数方程历年真题1. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长【答案】解：由，由得，代入并整理得，由，得，两式平方相加得联立，解得或|AB|=【解析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题2. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离
2、的最小值【答案】解：直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0，P到直线l的距离d=，当s=时，d取得最小值=【解析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离本题考查了参数方程的应用，属于基础题3. 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径【答案】解：（1）直线l1的参数方程为，（t为参数），消掉参数t得：直线
3、l1的普通方程为：y=k（x-2）；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x=-2+ky；联立，消去k得：x2-y2=4，即C的普通方程为x2-y2=4；（2）l3的极坐标方程为（cos+sin）-=0，其普通方程为：x+y-=0，联立得：，2=x2+y2=+=5l3与C的交点M的极径为=【解析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x-2）与x=-2+ky；联立，消去k可得C的普通方程为x2-y2=4；（2）将l3的极坐标方程为（cos+sin）-=0化为普通方程：x+y-=0，再与曲线C的方程联立，可得，即可求得l3与C的交点
4、M的极径为=本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题4. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos=4（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值【答案】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，y0=，|OM|OP|=16，=16，即（x2+y2）（1+）=16，x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=
5、16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x-2）2+y2=4（x0），点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x-2）2+y2=4（x0）（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d=，AOB的最大面积S=|OA|（2+）=2+【解析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|OP|=16列方程化简即可；（2）求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题5. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参
6、数），直线l的参数方程为（t为参数）（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-，）（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cos，sin），0，2），所以点P到直线l的距离d为：d=，满足tan=，又d的最大值dmax=，所以|5sin（+）-a-4|的最大值为17，得：5-a-4=17或-5-a-4=
7、-17，即a=-16或a=8【解析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；（2）曲线C上的点可以表示成P（3cos，sin），0，2），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为进行分析，可以求出a的值本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a6. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos, . 求C的参数方程.设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x +2垂
8、直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.【答案】【小题1】 .【小题2】点D的直角坐标为 ,即【解析】【小题1】试题分析：C的普通方程为 +y2=1 . 可得C的参数方程为 . 【小题2】试题分析：设D(1+cost ,sint ).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同, tant = ,t= . 故点D的直角坐标为 ,即 . 7. 已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为2 cos 2=1.求曲线C的直角坐标方程.求直线l被曲线C截得的弦长.【答案】【小题1】由2cos 2=1得2cos22
9、sin2=1，即有x2y2=1，所以曲线C的直角坐标方程为x2y2=1.【小题2】把代入x2y2=1中，得（2+t）2（t）2=1，即2t24t3=0，所以t1+t2=2，t1t2=设直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).所以直线l被曲线C截得的弦长为【解析】【小题1】略【小题2】略8. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标【答案】解：（1）曲线C1
10、的参数方程为（为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2+sin2=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为sin（+）=2，即有（sin+cos）=2，由x=cos，y=sin，可得x+y-4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0；（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2-3=0，由直线与椭圆相切，可得=36t2-16（3t2-3）=0，解得t=2，显然t=-2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=，此时4x2-12x+9=0，解得x=，即为P（，）另
11、解：设P（cos，sin），由P到直线的距离为d= =，当sin（+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取=，即有P（，）【解析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=cos，y=sin，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标另外：设P（cos，sin），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小
12、值和P的坐标本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题9. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos（）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（）直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a【答案】解：（）由，得，两式平方相加得，x2+（y-1）2=a2C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆化为一般式：x2+y2-2y+1-a2=0由x2+y2=2，y
13、=sin，得2-2sin+1-a2=0；（）C2：=4cos，两边同时乘得2=4cos，x2+y2=4x，即（x-2）2+y2=4由C3：=0，其中0满足tan0=2，得y=2x，曲线C1与C2的公共点都在C3上，y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，-得：4x-2y+1-a2=0，即为C3 ，1-a2=0，a=1（a0）【解析】（）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=2，y=sin化为极坐标方程；（）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差
14、，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1-a2=0，则a值可求本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题10. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长【答案】解：直线l的参数方程为，化为普通方程为x+y=3，与抛物线y2=4x联立，可得x2-10x+9=0，交点A（1，2），B（9，-6），|AB|=8【解析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题11. 已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程（）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【答案】解：（）对于曲线C：+=1，可令x=2cos、y=3sin，故曲线C的参数方程为，（为参数）对于直线l：，由得：t=x-2，代入并整理得：2x+y-6=0；（）设曲线C上任意一点P（2cos，3s
