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1、坐标系与参数方程历年真题1. 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(为参数),设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长【答案】解:由,由得,代入并整理得,由,得,两式平方相加得联立,解得或|AB|=【解析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程,然后联立方程组,求出直线与椭圆的交点坐标,代入两点间的距离公式求得答案本题考查直线与椭圆的参数方程,考查了参数方程化普通方程,考查直线与椭圆位置关系的应用,是基础题2. 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离
2、的最小值【答案】解:直线l的直角坐标方程为x-2y+8=0,P到直线l的距离d=,当s=时,d取得最小值=【解析】求出直线l的直角坐标方程,代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数,从而得出最短距离本题考查了参数方程的应用,属于基础题3. 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数)设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos+sin)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径【答案】解:(1)直线l1的参数方程为,(t为参数),消掉参数t得:直线
3、l1的普通方程为:y=k(x-2);又直线l2的参数方程为,(m为参数),同理可得,直线l2的普通方程为:x=-2+ky;联立,消去k得:x2-y2=4,即C的普通方程为x2-y2=4;(2)l3的极坐标方程为(cos+sin)-=0,其普通方程为:x+y-=0,联立得:,2=x2+y2=+=5l3与C的交点M的极径为=【解析】解:(1)分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k(x-2)与x=-2+ky;联立,消去k可得C的普通方程为x2-y2=4;(2)将l3的极坐标方程为(cos+sin)-=0化为普通方程:x+y-=0,再与曲线C的方程联立,可得,即可求得l3与C的交点
4、M的极径为=本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程,考查函数与方程思想与等价转化思想的运用,属于中档题4. 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值【答案】解:(1)曲线C1的直角坐标方程为:x=4,设P(x,y),M(4,y0),则,y0=,|OM|OP|=16,=16,即(x2+y2)(1+)=16,x4+2x2y2+y4=16x2,即(x2+y2)2=
5、16x2,两边开方得:x2+y2=4x,整理得:(x-2)2+y2=4(x0),点P的轨迹C2的直角坐标方程:(x-2)2+y2=4(x0)(2)点A的直角坐标为A(1,),显然点A在曲线C2上,|OA|=2,曲线C2的圆心(2,0)到弦OA的距离d=,AOB的最大面积S=|OA|(2+)=2+【解析】(1)设P(x,y),利用相似得出M点坐标,根据|OM|OP|=16列方程化简即可;(2)求出曲线C2的圆心和半径,得出B到OA的最大距离,即可得出最大面积本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化,轨迹方程的求解,直线与圆的位置关系,属于中档题5. 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参
6、数),直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a【答案】解:(1)曲线C的参数方程为(为参数),化为标准方程是:+y2=1;a=-1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y-3=0;联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(-,)(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是:x+4y-a-4=0,椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cos,sin),0,2),所以点P到直线l的距离d为:d=,满足tan=,又d的最大值dmax=,所以|5sin(+)-a-4|的最大值为17,得:5-a-4=17或-5-a-4=
7、-17,即a=-16或a=8【解析】(1)将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标;(2)曲线C上的点可以表示成P(3cos,sin),0,2),运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值,难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a6. 选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos, . 求C的参数方程.设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x +2垂
8、直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.【答案】【小题1】 .【小题2】点D的直角坐标为 ,即【解析】【小题1】试题分析:C的普通方程为 +y2=1 . 可得C的参数方程为 . 【小题2】试题分析:设D(1+cost ,sint ).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同, tant = ,t= . 故点D的直角坐标为 ,即 . 7. 已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为2 cos 2=1.求曲线C的直角坐标方程.求直线l被曲线C截得的弦长.【答案】【小题1】由2cos 2=1得2cos22
9、sin2=1,即有x2y2=1,所以曲线C的直角坐标方程为x2y2=1.【小题2】把代入x2y2=1中,得(2+t)2(t)2=1,即2t24t3=0,所以t1+t2=2,t1t2=设直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).所以直线l被曲线C截得的弦长为【解析】【小题1】略【小题2】略8. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin(+)=2(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标【答案】解:(1)曲线C1
10、的参数方程为(为参数),移项后两边平方可得+y2=cos2+sin2=1,即有椭圆C1:+y2=1;曲线C2的极坐标方程为sin(+)=2,即有(sin+cos)=2,由x=cos,y=sin,可得x+y-4=0,即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0;(2)由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0,联立可得4x2+6tx+3t2-3=0,由直线与椭圆相切,可得=36t2-16(3t2-3)=0,解得t=2,显然t=-2时,|PQ|取得最小值,即有|PQ|=,此时4x2-12x+9=0,解得x=,即为P(,)另
11、解:设P(cos,sin),由P到直线的距离为d= =,当sin(+)=1时,|PQ|的最小值为,此时可取=,即有P(,)【解析】(1)运用两边平方和同角的平方关系,即可得到C1的普通方程,运用x=cos,y=sin,以及两角和的正弦公式,化简可得C2的直角坐标方程;(2)由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标另外:设P(cos,sin),由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域,即可得到所求最小
12、值和P的坐标本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化,同时考查直线与椭圆的位置关系,主要是相切,考查化简整理的运算能力,属于中档题9. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0)在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos()说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;()直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a【答案】解:()由,得,两式平方相加得,x2+(y-1)2=a2C1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆化为一般式:x2+y2-2y+1-a2=0由x2+y2=2,y
13、=sin,得2-2sin+1-a2=0;()C2:=4cos,两边同时乘得2=4cos,x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4由C3:=0,其中0满足tan0=2,得y=2x,曲线C1与C2的公共点都在C3上,y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,-得:4x-2y+1-a2=0,即为C3 ,1-a2=0,a=1(a0)【解析】()把曲线C1的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程,可知曲线C1是圆,化为一般式,结合x2+y2=2,y=sin化为极坐标方程;()化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程,把C1与C2的方程作差
14、,结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1-a2=0,则a值可求本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了两圆公共弦所在直线方程的求法,是基础题10. 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长【答案】解:直线l的参数方程为,化为普通方程为x+y=3,与抛物线y2=4x联立,可得x2-10x+9=0,交点A(1,2),B(9,-6),|AB|=8【解析】直线l的参数方程化为普通方程,与抛物线y2=4x联立,求出A,B的坐标,即可求线段AB的长本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题11. 已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)()写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程()过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值【答案】解:()对于曲线C:+=1,可令x=2cos、y=3sin,故曲线C的参数方程为,(为参数)对于直线l:,由得:t=x-2,代入并整理得:2x+y-6=0;()设曲线C上任意一点P(2cos,3s