固体物理学教学补充资料(二)

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1、固体物理学教学补充资料（二）一、第一章订正： （1）P7、p8面心、体心立方原胞的基矢及图示（见课件）；（2）P10倒七行，“各种等价原子”改为“各种不等价原子”；（3）P17 P18从（1-9）式至（1-16）式中是不必互质的整数，改为，（1-17）式中必须是互质的，注意区分；（4）P26（1-26）式为P27（1-33）式的第一式改为；（5）P34图1-34中的2）简单单斜中的要互换，4）简单正交中的要互换，8）三角中的要互换；（6）P35表1-1中单胞基矢换成a、b、c，四方晶系与六角晶系的群类顺序要调整（见课件）（7）Sn群的含义与熊夫利符号有出入，反演轴不同于反映轴（见后）。（8）P

2、23图1-27“共四面体”为“正四面体”；（9）P15第二段100、110、111的等效晶面数分别为“3、4、6”改为“3、6、4”。二、立方晶系原胞与单胞晶格的原胞 指一个晶格最小的周期性单元。三维晶格的原胞通常是一个平行六面体。单胞 为了反映晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作为重复单元，称为单胞。在面心立方晶格中，可以由一个立方体顶点到三个近邻的面心引晶格基矢a、a、a，以三个晶格基矢为边导出相应的原胞，如图12所示三个基矢可以写为：a为立方单元的边长可以验证这个原胞的体积为 图2-1，只有立方单元体积的。在体心立方晶格中，可以由一个立方体的体心到最近的三个顶点得到晶格基矢a、a、a，

3、以它们为棱形成的平行六面体构成原胞，如图13所示三个晶格基矢可以写成：a亦为立方单元的边长可以验证这个原胞的体积是， 图2-2只有立方单元体积的一半考虑到体心立方晶格的一个立方单元体积中，包含有2个原子，因而图114所示的平行六面体是最小周期性单元三、 晶面与晶面指数图3l中以简单立方为例画出了三个不同方向的晶面（100）图3-1具体讨论晶体时，常常要谈到某些具体晶面，需要有一定的办法标志不同的晶面常用的是所谓晶面指数与密勒指数晶面指数的定义： 定义一：设一晶面族将三个原胞基矢分别截成段，则这族晶面就用表示，称为晶面指数。晶面系的第一个面的截距必然是 a的分数可以写成a/ h，h为正、负整数。

4、同样可以论证第一个晶面在其它两个轴上的截距分别为 a/h、a/h （是整数）。平常就用（）来标记这个晶面系，称为晶面指数。、实际表明等距的晶面分别把基矢a、a、a分割成多少个等份 它们也是以a、a、a 为各轴的长度单位所求得的晶面截距的倒数值如果晶面系和 图3-2某一个轴平行，截距将为，所以相应的指数为0在图3-1中给出了简单立方晶格的几个晶面的晶面指数晶面指数与晶面（法向）的法向余弦相对应，表征晶面的法向。令n代表晶面的法向，d代表相邻晶面的间距，由定义一知 所以 由此可知与晶面（法向）的法向余弦相对应。可以证明，简单立方晶格中一个晶面的指数是和晶面的法线的晶向指数相同的。这给确定晶面指数提

5、供了一个简便途径。例如与立方边100、面对角线010和体对角线lll垂直的晶面就分别是(100)、(110)、(111)面，如图13中所示 与其它的立方边、 面对角线和体对角线相垂直的晶面，显然是和以上晶面等效的统称一类等效晶面时，用花括号代替圆括号，写成100、110、111等。对于符号相反的晶面指数需要作一些说明图122中各多面体相对的两个而都是相互平行的，它们的晶面指数正好相反例如八面体一个前面的晶面(111)，与它相对的背面就是()因为符号相反的晶面指数所标志的晶面是相互平行的，所以对标志晶格的晶面来讲、是没行什么区别的，因而100、110、111的等效晶面数分别为3、6、4符号相反的

6、晶面指数只是在区别晶体的外表面时才是有意义的（订正）100的等效晶面数3110的等效晶面数6111的等效晶面数4 图1-3定义二：设一晶面族中某个晶面（任意晶面）截原胞基矢于处，可以证明, 则这族晶面的晶面指数为。上述两个定义是等价的。设晶面族中某个晶面（任意晶面）截原胞基矢与处，显然该晶面到原点（基矢顶点）的距离是d的整数倍md，有， 所以 与上面式子比较得阿羽依有理指数定律设某一晶面族的法线方向单位矢量为n,则离原点的第个晶面的方程为 d为该晶面族的晶面间距，r为晶面上任一点的位矢。设晶面的三个截距为 则 可见， 为有理数，此即阿羽依有理指数定律。可以证明，对离原点最近的晶面上，任一格点有

7、如下关系：由此可知,为互质的整数。否则，上式不成立。密勒指数 以单胞的基矢为坐标系，所得出的晶面指数叫密勒指数，记作 。密勒指数有着重要的（实用）意义。上面以简单立方晶格为例所列举的一些晶向和晶面、在实际问题当中是很重要的对于布拉伐格子为面心立方或体心立方的晶格，在标志晶向、晶面时，常常并不是从晶格原胞的基矢出发、而是基于立方单胞的三个基矢，这时它们的晶向、晶面指数实际上是借用了简单立方晶格的结果这时的晶面指数就是密勒指数。以金刚石晶格格为例，图18中，立方单胞的体对角线方向，仍然称为111方向，与之垂直的晶面仍然称为(111)面【例题】分别确定图中1、2、3 所在的晶面族的晶面指数。【解】按

8、天然坐标系，1面的三个截距为：-2、-1、3，它们的倒数比为：化成互质的整数比为-3：-6：2，所以 同理，3面所在的晶面族的晶面指数为： 对2面，先平行移动一个晶面间距，得到同一个晶面族中临近的一个晶面的三个截距为，于是得到2 所在的晶面族的晶面指数为： 四、 倒 格 子 倒格子是固体物理学中一个十分重要的概念。倒格子实际是由晶格周期性所决定的一种状态空间的周期性点阵，有人说是晶格周期性在状态空间的“影子”因为倒点阵是正点阵的富里叶变换。（一）倒格子的定义1、倒格子基矢根据正格子（晶格）基矢a、a、a，定义三个新的矢量称为倒格子基矢量其中是正点阵原胞的体积。倒格子基矢的几何意义：（以b1为例

9、说明）由定义可知，垂直于所在的晶面。又因为 ，而 为所在晶面族的晶面间距d1，所以表明：1) 沿所在晶面族的法向。 2) 的模为该族晶面面间距的倒数的2p倍。2、倒格子点阵由倒格子基矢可定义一个新点阵空间，这个点阵就称为倒格子空间或倒易点阵。在倒格子空间中某个格点的位置矢量为 其中为整数。取所有正、负整数（包括0），在倒格子空间的末端在倒格子空间作出一个以为基矢的周期性点阵倒格子。（二）倒格子的由来正格子的富里叶变换晶格具有周期性，一些物理量具有晶格周期性，如势能函数V(X)=V(X+Rl)，其中是以a、a、a为周期的三维周期函数。先考虑一维周期函数的富里叶展开： 其中， 是V(x)的富里叶变

10、换。 对三维情况，可以将V（x）展开为 ， 而V(X)=V(X+Rl)，这就要求n为整数。矢量Gn的量纲是正格矢Rl量纲的倒数，故把矢量Gn称为倒格矢。这便是倒格矢称号的由来，便是进一步导出倒点阵的出发点。可以证明上面的直接定义正好符合这里的要求。恰当选取基矢将Gn表示为为保证成立，并使关系简化，约定满足于是只要 都是整数，便自动成立。所以定义这就保证了成立，从而成立。这样三维晶格周期函数的富里叶展开，便是按倒格矢展开：而X可以写成，所以展开系数为V（n）就是V（x）的富里叶变换。这一变换把正点阵的周期函数在倒点阵中表出。（三）正格子与倒格子的关系1.基本关系， 推论：若两个矢量的点积为2p的

11、整数倍，且其中一个为正格矢（倒格矢），则另一个必为倒格矢（正格矢）。2.两种点阵原胞体积间的关系倒点阵原胞体积3.正格子与倒格子互为对方的倒格子（倒格子的倒格子是正格子）设是基矢为的倒格子的倒格子基矢，则 将的定义代入可得：这便是正格子基矢。4.倒格矢与正格子晶面族()正交如图所示，ABC是离原点最近的晶面，=2p-2p=0,=2p-2p=0.所以，Gh与平面ABC正交，也即与晶面指数为()的晶面族正交。5.晶面族()的面间距与Gh的模的倒数成正比在原胞基矢坐标系中由晶面指数的定义知，晶面族()将原胞基矢a1截为h1段。又由上述知晶面()与倒格矢Gh正交，用dh代表晶面间距，则， 类似地，倒格

12、面的面间距利用面间距与Gh的关系可以把晶面方程用Gh表示。设离开原点的第n个晶面上任一点X（原点到该点的位矢），则X在倒格矢Gh上的投影为原点到第n个晶面的垂直距离nd, 即这就是第n个晶面的晶面方程。（四）由单胞基矢定义的倒格矢与倒点阵单胞基矢坐标系中的晶面指数称密勒指数，用表示。由密勒指数的定义知，晶面族将单胞基矢a截为h段。可以证明晶面与倒格矢正交，用dhkl代表晶面间距，在形式上有 其中 ， 是正点阵单胞的体积。由于单胞比原胞大，故 可能会 小于 于是, 给出的倒格子可能会出现多余的倒格点。晶面间距的计算公式可能不正确。在晶体衍射一章中再来讨论这个问题。 （五）倒格子中的布里渊区以一个

13、倒格点为中心，把它同其它倒格点连接起来，作这些连线的中垂面，这些中垂面在倒格子中围成许多小区域，其中包围在中心的最小多面体即倒格子的WS原胞，叫做第一布里渊区（1BZ）。在第一布里渊区周围体积等于第一布里渊区体积的区域为第二布里渊区，以此类推，得第三、第四布里渊区每个布里渊区的体积相等。右图画出了平面正方晶格的第一、二、三布里渊区。 作为一例子，下面讨论立方晶系的倒点阵及其第一布里渊区。 对于简立方点阵的倒点阵依然是简立方点阵，因为 倒点阵的单胞与原胞都是边长为2/a的立方体，而包围一个倒格点的第一布里渊区也是一个大小与倒格子原胞相等的立方体。面心立方点阵的倒点阵是体心立方点阵，因为 得到边长4/a 的体心立方点阵，第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，并沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体，如下图所示。