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1、四年级奥数详解答案 第3讲 第三讲 数阵图一、知识概要 1. 数阵图就是把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的条件。 2. 数阵图的种类，大致分为三种：封闭型数阵图；开放型数阵图；复合型数阵图 3. 解数阵图的一般方法： (1) 分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选用使用次数多的数作为关健数。 (2) 依据图中条件，建立所求的和与关健数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。 (3) 对其他部位上的数字一般都是作尝试选填，直至符合题为止二、典型例题精讲 1. 把16这6个数分别填在图中的内，使每多边上三个内的数字和相
2、等。 分析指导： 21+(a+b+c)=(a+d+b)+(b+f+c)+(a+e+c)a+d+b=b+f+c=a+e+c,且设a+d+b=k有:21+(a+b+c)=3k当a+b+c为最小值，即1+2+3=6时，k=9当a+b+c为最大值，即6+5+4=15时，k=12这样就可以确定，三角形每边上的三个内的数字和在912之间 解：(1)当k=9时，a+b+c=6,令a=1,b=2,c=3则：d=9-(2+1)=6 e=9-1-3=5 f=9-2-3=4其结果如下图所示： (2)当k=10时，a+b+c=9, 则：a.b.c的取值有三种可能：a=1,b=2,c=6 a=1,b=3,c=5 a=2
3、,b=3,c=4 -种情况，a=1,b=2,c=6,则d=10-1-2=7 (不合题意，舍去)-种情况，a=1,b=3,c=5,则d=10-1-3=6，e=10-1-5=4;f=10-3-5=2, 所以结果如图所示。 -种情况，a=2,b=3,c=4,则d=10-2-3=5，e=10-2-4=6, f=10-3-4=3, 与b=3重复，不合题意，舍去。 (3) 当k=11时，则a+b+c=12,这时a、b、c的取值，又有如下几种情况： a=1,b=5,c=6,d=11-1-1=5与b=5矛盾，舍去。a=2,b=4,c=6,d=11-2-4=5,e=11-8=3,f=11-10=1结果如图所示。
4、a=3,b=4,c=5,d=11-7=4,与b=4矛盾，舍去。(4) 当k=12时，则a+b+c=15,这时a、b、c的取值为a=4,b=5,c=6, d=12-9=3,e=12-11=1,f=12-10=2 结果如图所示：综合以上分析，本题有四种不同的填法。2. 112中的部分数字已填入图中，请将其余的数字补充填入，使得每条直线上的四个数的和都相等。 分析指导：求出112的和。每个内的数都重复计算了一次，六条直线数字之和=112的和的2倍。求出每条直线上的数字之和。中间数尝试几次便可试出。解：112的和：(12+1)122=78每条直线数字之和：7826=1566=26 b+a=26-10-
5、1=15,则a和b的取值为只能是8和7，这样问题就解决了。结果如图所示： 3. 将110这十个数字填入图中的10个内，使每个四边形四个顶点上各数的和等于24。 分析指导：这个数的突破口是：题中有3个“正方形”，两个位置上的数字被重复使用。三个“正方形”的顶点上各数的总和应是：243=72，而110这十个数字的总和是：(10+1)102=55，所以中间重复使用的两个数之和应是：72-55=17，重复使用的两个数的取值范围有10和7；9和8两种情况，本题可能有两种答案，先试第一种：当中间数为10和7时，有：10+7+1+6=24，10+9+2+3=2，7+8+4+5=2，符合题意，结果如图所示：
6、再试第二种：当中间数为9和8时，有： 9+8+4+3=24，10+8+5+1=24 9+7+6+2=24，符合题意，结果如图所示综合上述分析，此题有2种填法。4. 把18各数填入图中的内，使每个面上四个数的和等于18。 分析指导：这是个立体图形，四个顶点上的数字被重复使用，但没有“关键数”，我们可以“1”这个特殊数填入任意一个位置，则和“1”组成18的情况有：1+2+7+8=18，1+3+6+8=18，1+4+5+8=18，1+7+6+4=18先将上述任意一组的四个数放入其中一个面的四个圆圈(大、小数间开)，以其为基础进行调整，可得到答案。结果如图所示： 5. 20以内共有10个奇数，去掉9和
7、15还剩八个奇数，将这八个奇数填入图中的内，(“3”已填好) ，使得箭头线连接的四数之和都相等。 分析指导：要填的七个数是：1、5、7、11、13、17、19。这七个数之和是：1+5+7+11+13+17+19=73。最后一个里的数是关键数。因为两头一去掉，中间只有6个字，(73-1)3=24，也就是说，中间每组两数之和是24。 当最后一个内填1时，则中间六个数为：5和19，7和17，11和13，结果如图所示：17131571119 当最后一个内填5时，则中间六个数的和为73-5=68，不能被3整除，不合，舍去。当最后一个内填7时，则中间六个数的和为73-7=66，663=22，22-19=3
8、，不合，舍去。当最后一个内填11时，则中间六个数之和为73-11=62，不能被3除，不合舍去。当最后一个内填13时，则73-13=60，603=20，20-17=3，超出可选范围，不合，舍去。当最后一个内填17时，则73-17=56，不能被3整除，不合，舍去。当最后一个内填19时，则73-19=54，543=18，18-17=1，18-13=5，18-11=7。511119131775符合题意，结果如图所示： 综合上面分析，本题有两种填法。6. 将112这十二个数分别填入图中的内，使每条线上五个数的和相等，并且两个六边形六个顶点上内的数的和也相等。 分析指导：1.先考虑每条线上五个数和相等 2
9、.再考虑六个顶点上的数的和相等。 1.112的和为：(12+1)122=78 每行四个内的数之和应该是783=26, 262=13则为两个内数之和，两数之和为13的情况有：1和12，2和11，3和10，5和8，6和7如图所示： 2.为满足六个顶点数字之和相等，其数字之和应该是26+13=39。将右图适当调整可得。结果如图所示。 三、练习巩固与拓展1. 将4、5、6、7、8、9六个数，填在图中的“”里，使每条线上的三个数的和都是18。 2. 图中有10个小三角形，4个大三角形，请把09填入小三角形内，使4个大三角形内的数字之和相等。 3. 把1-8个数分别填入图中的里，使四边形每条边上三个数的和
10、都等于12. 4. 把1019这十个数分别填入右图中的内，使三角形每条边上四个数的和相等。 5. 在下图中各圆的空含部分填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和都是156. 将数字17填入图中圆锥的7个小圆圈内，使三条线段上的3个数之和，两圆周上3个数之和均相等。 7. 将1-7这七个数字填入图中的内，使每条线上三个数的和相等。8. 在图中的几个内各填一个数，使每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已经填好两个数，那么x = ( ) 9. 将1、3、5、719，这十个数分别填入图中的内，使每条线段上四个内数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等。10. 将18这八个数
11、字分别填入图中，使每个圆圈上五个数的和分别为20、21、22。 第三讲 答案1. 每条线三个数的和是18，三条线九个数的和183=54，但三个顶点上的数已重复计算，所以应用54(4+5+6+7+8+9)的和，即54-39=15这个“15”就是三个顶点上的数的和. 2. 解：中心那个特殊位置放“0” 09的和为：(9+0)102=45 453=15 即每个三角形里的数的和为15。下列三组数的和为15： 1、6、8；3、7、5；2、4、9 3. 解：18的和是：(8+1)82=36而四条边的和则为124=48四角上的四个数之和应为：48-36=12 12=1+2+3+6四角上要满足填1、2、3、6 4. (提示：三个顶点上先填12、13、17这三个数。) 5. 已知三个圆中的两数之和分别为8、12、10；而圆中的四数之和又为15。15-8=7 15-12=3 15-10=5为了不出现重复现象取7=1+6、3=1+2、5=1+4、“1”是共有的数，填入中心位置。 6. 设顶点数为a，则有：2(1+2+7)+a=56+a (7个圆圈的数字之和)。由于线段和圆圈的数字和相等，因而(56+a)应能被5整除，那么，a只能为4，56+4=60 605=12即三个数的和为12。12-4=
