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1、卡方分布一、 卡方分布的定义：若n个相互独立的随机变量1，2，n ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和i2构成一新的随机变量，其分布规律称为2(n)分布（chi-square distribution），其中参数 n 称为自由度。二、 卡方分布的性质：:（1） (可加性) 设 这里（2） 证明 （1）根据定义易得。 （2）设 其中 因为 代入（1），第一条结论可得证。直接计算可得 于是 代入（2）便证明了第二条结论。三、 卡方分布的概率密度函数：其中Dx为n维x空间内由不等式所定的区域。即，Dz为n维x空间内以坐标原点为球心、为半径的
2、球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。令与这变换相应的函数行列式为：其中括号和都表示的函数。因此。当z0时，C是常数。 为了定出C,在上述等式的两端令得到从而，在分母内的积分中令，即，用作代换，那么，这个积分等于因此，从而，当z0时， 即，的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n的分布，记作。它的图像如下： 图（一）分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为： ，其中(k,z)为不完全Gamma函数。其图像如下：图（二）分布的分布函数图五、 卡方分布的特征函数及其推导：特征函数： (t)= E（eit） = -+eit f(x)dx =12n2p(n2)0+(cos
3、tx+isintx)en-x-22dx =1(1-2it)n2六、 论证过程中的心得体会：首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。这让大家明白了团结的力量。做出合理的时间安排， 做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规 划，课程设计一共分5个板块（定义，性质，特征函
4、数，密度函数，分布函数，心得体会）。你每 天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在2周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。 另外，写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解，更规范更具体，为以后的学业报告做了一次很好的准备。论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定 要有正确的格式，论文格式错误就不能得到好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。多元课程的设计更加是丰富了我们的业余生活，让大家聚在一起讨论题目，其乐融融。这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友，发现生活中的点滴数学趣事，从实际出发思考题
5、目，同时我们对计算机的知识也有了一定的加深，matlab 的使用等等。t分布的有关知识t分布的概述及其历史 在概率论和统计学中，学生t-分布（Students t-distribution）应用在当对呈正态分布的母群体的均值进行估计。它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t测定的基础。t检定改进了Z检定，不论样本数量大或小皆可应用。在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t检定。 当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-
6、分布。 学生t-分布可简称为t分布。其推导由威廉戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布由于在实际工作中，往往是未知的，常用s作为的估计值，为了与u变换区别，称为t变换t=，统计量t 值的分布称为t分布。t分布的分布函数及证明用表示分布的分布函数，则证明 根据分布函数的定义有当时，上式为由于，故立即可得，为了计算，我们做变换则，因此故 而当时，我们有然后利用刚刚的讨论可知综上所述便得我们所要的结论。t分布的密度函数及证明
7、设为相互独立随机变量，服从正态服从自由度为的分布，则t=的密度函数为称是自由度为的分布（或Student分布）的密度函数，证：首先，易知相互独立，事实上，故得证（其实，由商的密度函数为证明过程用到公式t分布的w特征函为：t分布有如下特征：1、t分布是对称分布，且其均值为02t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度）大小有关。自由度越小，t分布曲线越低平；自由度越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线，如图1。3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。4、与标准正态分布相比，t分布的中心部分较低，2个尾部较高。5、变量t的取值范围在之间图1自由
8、度为1、5、的t分布t分布有如下性质：性质1 令则 故的解为，即分布密度在处有拐点。性质2 性质3 设，若，则存在；若，则不存在。此点由微积分中判别积分收敛的法则很容易看出。 若，且为奇数，由于函数是的奇函数，因此，；若且为偶数，可以算得 特别 性质4 分布由于只有阶矩存在，故没有矩母函数存在。性质5 如和独立同分布于，则随机变量。t分布的分位数分布的分位数记作.如图所示，当X时，=.给出概率和自由度,可从分布的分为表中查出.与标准正态分布相类似,根据分布密度曲线的对称性,也有,论述同.如果在分布的分为表中没有负的分位,则先查出,然后得到. 例如,另外,当时,在比较简略的表中查不到,可用作为的
9、近似值. 分布的分位数 t分布表 n 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.00051 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 127.32 318.31 636.622 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.089 23.326 31.5983 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.213 12.9244 0.741 0.
10、941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.615 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.8696 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.9597 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.4088 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896
11、 3.355 3.833 4.501 5.0419 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.78110 0.70 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.58711 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.43712 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.31813 0.6
12、94 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.22114 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.14 15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.07316 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.01517 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.96518 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.92219 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.88320 0.687 0.860 1.064 1.325 1
