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1、椭圆的标准方程与性质 教学目标：1了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点： 在高考中所占分数：13分 考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，范围问题，存在性问题。涉及到的基础知识1引入椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：有以下3种情况(1)若ac，则
2、集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2题型总结类型一椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD
3、与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线. ,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的练习：已知F1，F2是椭圆C：(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且1，若PF1F2的面积为9，则b_【解析】由题意的面积故答案为：【答案】3练习2：已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6B5C
4、4D3【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_【解析】设椭圆方程为1(ab0)，由e，知，故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，故a4.b28，椭圆C的方程为1.【答案】1练习1：设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)上，c210ac3a20，e210e30，解得e25.【答案】25练习1：已知A、B是椭
5、圆1(ab0)和双曲线1(a0，b0)的公共顶点P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足()，其中R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1k25，则k3k4_【解析】设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出【答案】A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，（不妨设）A（-a，0），B（a，0）设P（x1，y1），M（x2，y2），其中R，（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=（x2+a，y2）+（x2-a，y2），化为x1y2=x2y1P、M都异于A、B，y10，y20由k1+k2=5，化为，（*）
6、又，代入（*）化为k3+k4=，又，k3+k4=-5故答案为-5类型四直线与椭圆的位置关系例4：(2014四川卷)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(2，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积【解析】（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；（2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。【答案】（1）由已知可得，所以。又由，解
7、得，所以椭圆的标准方程是。（2）设点的坐标为，则直线的斜率。当时，直线的斜率，直线的方程是。当时，直线的方程是，也符合的形式。设，将直线的方程与椭圆的方程联立，得。消去，得。其判别式，所以，。因为四边形是平行四边形，所以，即。所以，解得。此时，四边形的面积。练习1：(2014陕西卷)已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程【解析】（1）根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。（2）根据圆心到直线的距离求出
8、的长度，建立直线和椭圆的方程组求出的长度，根据和的关系求出。【答案】由题设知解得，所以椭圆的方程为。（2）由题设，以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，由得。所以。设，由得。由求根公式可得，。所以，由得，解得，满足。所以直线的方程为或。类型五圆锥曲线上点的对称问题例5：椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e，其中F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y2x1.(1)求椭圆E的方程；(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由【解析】（1）由定义法代入即可得答案。（2）假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立
9、后得到矛盾，即可。【答案】（1）设椭圆E的方程为+=1,由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2.椭圆方程具有形式+=1.将A(2,3) 代入上式, 得+=1,解得c=2,椭圆E的方程为+=1.（2）解法一:假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2),BCl,kBC=-.设BC的中点为M(x0,y0),则x0=,y0=,由于M在l上, 故2x0-y0-1=0.又B,C在椭圆上,所以有+=1与+=1.两式相减,得+=0,即+=0.将该式写为+=0, 并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中,得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.2-得x0=2,y0
10、=3,即BC的中点为点A, 而这是不可能的.不存在满足题设条件的点B和C.解法二:假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称,则lBC,kBC=-.设直线BC的方程为y=-x+m,将其代入椭圆方程+=1, 得一元二次方程3x2+4=48,即x2-mx+m2-12=0.则x1与x2是该方程的两个根.由韦达定理得x1+x2=m,于是y1+y2=-(x1+x2)+2m=,B,C的中点坐标为.又线段BC的中点在直线y=2x-1上,=m-1,得m=4.即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.练习1：(2014湖南)如图，正方形ABCD和正方形DE
11、FG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_.【解析】由题可得C(),F(),因为C,F在抛物线上,代入抛物线可得,故填。【答案】下一讲讲解范围，面积类型的题。随堂检测1.（2015年高考福建卷）已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD【答案】A2.已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_【答案】13.椭圆T：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆T的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭
12、圆的离心率等于_【答案】14已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为_【答案】-25.(2014包头测试与评估)已知椭圆1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e，则的取值范围是_【答案】0,126.已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2(y3)21的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3的直线l恰好与圆C2相切(1)求椭圆C1的离心率；(2)若的最大值为49，求椭圆C1的方程【答案】（1)由题意可知直线l的方程为bxcy(3)c0，因为直线l与圆C2
13、：x2(y3)21相切，所以d1，即a22c2，从而e.(2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则1(c0)，又()()x2(y3)21(y3)22c217(cyc)当c3时，()max172c249，解得c4，此时椭圆方程为1；当0c3时，()max(c3)2172c249，解得c53但c533，故舍去综上所述，椭圆C1的方程为1.课下作业基础巩固1.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于()A.B.C.D.1【答案】C2.设F1、F2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角，且PF1F2PF2F1，若椭圆离心
