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1、椭圆的标准方程与性质 教学目标:1了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 高考相关点: 在高考中所占分数:13分 考查出题方式:解答题的形式,而且考查方式很固定,涉及到的知识点有:求曲线方程,弦长,面积,对称关系,范围问题,存在性问题。涉及到的基础知识1引入椭圆的定义在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数:有以下3种情况(1)若ac,则
2、集合P为椭圆;(2)若ac,则集合P为线段;(3)若ac,则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a,b,c的关系c2a2b2题型总结类型一椭圆的定义及其应用例1:如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD
3、与OM交于点P,则点P的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线. ,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的练习:已知F1,F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且1,若PF1F2的面积为9,则b_【解析】由题意的面积故答案为:【答案】3练习2:已知F1,F2是椭圆1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A6B5C
4、4D3【解析】由椭圆方程知,椭圆的长轴,则周长为16,故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二求椭圆的标准方程例2:在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为_【解析】设椭圆方程为1(ab0),由e,知,故.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16,故a4.b28,椭圆C的方程为1.【答案】1练习1:设F1,F2分别是椭圆E:x21(0bb0)上,c210ac3a20,e210e30,解得e25.【答案】25练习1:已知A、B是椭
5、圆1(ab0)和双曲线1(a0,b0)的公共顶点P是双曲线上的动点,M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B),且满足(),其中R,设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4,k1k25,则k3k4_【解析】设出点P、M的坐标,代入双曲线和椭圆的方程,再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出【答案】A,B是椭圆和双曲线的公共顶点,(不妨设)A(-a,0),B(a,0)设P(x1,y1),M(x2,y2),其中R,(x1+a,y1)+(x1-a,y1)=(x2+a,y2)+(x2-a,y2),化为x1y2=x2y1P、M都异于A、B,y10,y20由k1+k2=5,化为,(*)
6、又,代入(*)化为k3+k4=,又,k3+k4=-5故答案为-5类型四直线与椭圆的位置关系例4:(2014四川卷)已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F(2,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线x3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积【解析】(1)根据已知条件求得和的值,于是可得的值,即得到椭圆的标准方程;(2)设出点坐标和直线和的方程,将其与椭圆方程联立,根据韦达定理得到根与系数的关系,根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高,代入面积的表达式即可得到结论。【答案】(1)由已知可得,所以。又由,解
7、得,所以椭圆的标准方程是。(2)设点的坐标为,则直线的斜率。当时,直线的斜率,直线的方程是。当时,直线的方程是,也符合的形式。设,将直线的方程与椭圆的方程联立,得。消去,得。其判别式,所以,。因为四边形是平行四边形,所以,即。所以,解得。此时,四边形的面积。练习1:(2014陕西卷)已知椭圆1(ab0)经过点(0,),离心率为,左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:yxm与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足,求直线l的方程【解析】(1)根据椭圆上的一点和离心率建立方程,求出椭圆方程中的参数。(2)根据圆心到直线的距离求出
8、的长度,建立直线和椭圆的方程组求出的长度,根据和的关系求出。【答案】由题设知解得,所以椭圆的方程为。(2)由题设,以为直径的圆的方程为,所以圆心到直线的距离,由得。所以。设,由得。由求根公式可得,。所以,由得,解得,满足。所以直线的方程为或。类型五圆锥曲线上点的对称问题例5:椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e,其中F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y2x1.(1)求椭圆E的方程;(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由【解析】(1)由定义法代入即可得答案。(2)假设存在直线,先设出直线方程代入,与椭圆方程联立
9、后得到矛盾,即可。【答案】(1)设椭圆E的方程为+=1,由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2.椭圆方程具有形式+=1.将A(2,3) 代入上式, 得+=1,解得c=2,椭圆E的方程为+=1.(2)解法一:假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2),BCl,kBC=-.设BC的中点为M(x0,y0),则x0=,y0=,由于M在l上, 故2x0-y0-1=0.又B,C在椭圆上,所以有+=1与+=1.两式相减,得+=0,即+=0.将该式写为+=0, 并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中,得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.2-得x0=2,y0
10、=3,即BC的中点为点A, 而这是不可能的.不存在满足题设条件的点B和C.解法二:假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称,则lBC,kBC=-.设直线BC的方程为y=-x+m,将其代入椭圆方程+=1, 得一元二次方程3x2+4=48,即x2-mx+m2-12=0.则x1与x2是该方程的两个根.由韦达定理得x1+x2=m,于是y1+y2=-(x1+x2)+2m=,B,C的中点坐标为.又线段BC的中点在直线y=2x-1上,=m-1,得m=4.即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.练习1:(2014湖南)如图,正方形ABCD和正方形DE
11、FG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则_.【解析】由题可得C(),F(),因为C,F在抛物线上,代入抛物线可得,故填。【答案】下一讲讲解范围,面积类型的题。随堂检测1.(2015年高考福建卷)已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点若,点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是()ABCD【答案】A2.已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点若AB的中点坐标为(1,1),则E的方程为_【答案】13.椭圆T:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆T的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭
12、圆的离心率等于_【答案】14已知双曲线x21的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为_【答案】-25.(2014包头测试与评估)已知椭圆1的左顶点为A,左焦点为F,点P为该椭圆上任意一点;若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e,则的取值范围是_【答案】0,126.已知椭圆C1:1(ab0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2:x2(y3)21的一条直径,与AF平行且在y轴上的截距为3的直线l恰好与圆C2相切(1)求椭圆C1的离心率;(2)若的最大值为49,求椭圆C1的方程【答案】(1)由题意可知直线l的方程为bxcy(3)c0,因为直线l与圆C2
13、:x2(y3)21相切,所以d1,即a22c2,从而e.(2)设P(x,y),圆C2的圆心记为C2,则1(c0),又()()x2(y3)21(y3)22c217(cyc)当c3时,()max172c249,解得c4,此时椭圆方程为1;当0c3时,()max(c3)2172c249,解得c53但c533,故舍去综上所述,椭圆C1的方程为1.课下作业基础巩固1.以椭圆两焦点为直径端点的圆,交椭圆于四个不同点,顺次连结这四个点和两个焦点,恰好围成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率等于()A.B.C.D.1【答案】C2.设F1、F2为椭圆的两个焦点,椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角,且PF1F2PF2F1,若椭圆离心