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1、第一章 函数、极限和连续注：补充例题或习题已在题号前标注*一、函数例1（1）求函数的定义域.（2）求函数的定义域.例2设函数，则 .例3已知，求.例4若，则 .例5已知的定义域为全体实数，则 .例6判断函数的奇偶性.二、极限例1求下列各题的极限（1）.（2）.（3）.（4）.例2设当，与是等价无穷小，则 .例3当时，下列变量与为等价无穷小量的是（ ）.A. B. C. D.例4求下列各题的极限（1）.（2）.例5求下列各题的极限（1）.（2）.（3）.（4）（其中为常数）.*例5求下列各题的极限（1）.（2）.（3）.例6求下列各题的极限（1）.（2）.例7求.例8在下列函数中，当时，函数极限
2、存在的是（ ）.A. B. C. D.例9（1）.（2）.（3）.（4）.（5）已知，求常数的值.（6）已知，求常数的值.三、函数的连续性 例1设函数在其定义域内连续，求常数的值.例2设函数在上连续，求常数的值.例3设函数，讨论的间断点及其类型.例4求下列函数的间断点并说明间断点类型（1）.（2）.例5证明方程在内至少有一个实根.例6设，求证在内至少有一个点，使.第二章 一元函数微分学一、导数与微分例1设在处可导，则 ; .例2求下列函数的导数（1）.（2）.（3）.（4）.（5），其中及均可导.（6）已知可导，求、和.（7）设，求.（8）设为二阶可导函数，且，求.例3函数在处是否连续，是否可
3、导，为什么？例4设函数（1）在处是否可导？（2）若可导，求曲线过点处的切线、法线方程.例5设函数在处可导，求常数的值.例6设曲线上存在切线与直线平行，求切点.例7设函数由方程确定，求.例8设函数由方程确定，求.例9设函数，求.例10设函数，求.例11（1）设，求.（2）设，求.例12已知，求当时的值.*例12已知参数方程，求和.练习题1.已知函数在处可导，求.2.求下列函数的一阶导数（1）.（2）.（3）.（4）.3.用对数求导法求下列函数的一阶导数（1）. （2）.4.求下列隐函数的一阶导数（1）. （2）.5.求下列函数的二阶导数（1）. （2）.6.求下列函数的微分（1）. （2）.7.
4、写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程（1），在处. （2），在处.二、导数的应用例1不用求函数的导数，问方程至少有几个实根，并指出其所在范围.例2函数在上是否满足罗尔定理或拉格朗日定理.例3设函数在上连续，在内可导，且在任一点处的导数都不为零，又，试证：方程在开区间内有且仅有一个实根.例4利用洛必达法则求下列极限（1）.（2）.（3）.（4）.例5求下列函数极限（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.例6证明不等式（1）.（2）.*（3）.*（4）例7证明不等式.例8证明下列不等式（1）.（2）当时，.（3）当时，.例9求函数的单调区间和极值. 例10求函数的凹凸区间
5、和拐点.例11求函数的驻点、拐点、凹凸区间、极值点、极值.例12求函数的凹凸性和拐点.例13求函数在上的最值.例14求下列曲线的水平渐近线及铅垂渐近线（1）.（2）.练习题1.不求出的导数，问方程至少有几个实根，并求出根所在的区间.2.证明方程仅有一个实根.3.求下列函数的极值.（1）.（2）.4.当为何值时，点是曲线的拐点.5.（1）求曲线的凹凸区间及拐点.（2）求曲线的拐点.6.证明下列不等式（1）当时，.（2）.7.设在可导，且时，其中是常数.证明：若，则方程在上有且仅有一根.第三章 不定积分与定积分一、不定积分例1（1）已知，求.（2）已知，求.二、积分法（一）直接积分法（公式法）例1
6、求下列不定积分（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.例2求下列不定积分（1）.（2）.（3）.（4）.（二）换元积分法1.第一类换元法（凑微分法）例1求下列不定积分（1）.（2）. （3）. （4）. *（5）.（5）.（6）.（7）.（8）.例2求下列不定积分（1）. （2）. （3）. （4）.2.第二类换元法例1. 例2. 例3.例4（1）.（2）.（3）.（4）.（三）分部积分法例1（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.*例1.例2已知的一个原函数是，求.（四）一些简单的有理函数的积分例1（1）.（2）.（3）.（4）.练习题1.计算下列不定积分（1）.（2）.（3
7、）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.（9）.（10）.三、定积分（一）牛顿-莱布尼兹公式（二）变上限积分（三）定积分的计算1.定积分的换元积分法（换元同时换限）例1计算. 例2计算2.定积分的分部积分法例1计算. 例2计算下列定积分（1）.（2）.（3）.（4）.例3计算定积分.（四）定积分的综合题【热点】例1求下列各题的导数（1）.（2）.*例1已知，求.例2求下列各题的极限（1）.（2）.（3）.（此题HB补充）例3用积分变换证明等式（1）证明.（2）设为连续函数，证明.例4设，求的最大值和最小值.例5设，求.（五）定积分的性质【热点】参见习题5-1（2012年最后一题考查了性质6
8、，性质7历年未考查过）练习题1.设，证明.2.，证明.3.设，证明.4.设为连续函数，且，证明方程在区间上有且仅有一个实根.5.设，求的极值.*5设连续，求.四、定积分的应用（一）利用定积分求面积和体积例1求由曲线，与所围成平面图形的面积.例2求抛物线与直线所围成的图形的面积.例3求抛物线及其点和点处的切线所围成的平面图形的面积.例4求曲线，与直线所围成的平面图形绕轴旋转后生成旋转体的体积.例5试求抛物线在点处的切线与抛物线自身及轴所围成的平面图形绕轴旋转后所得旋转体的体积.（二）平面曲线的弧长包括直角坐标情形和参数方程情形例1计算曲线上相应于从到的一段弧的长度.例2计算摆线，的长度.五、广义
9、积分的计算例1计算下列广义积分（1）.（2）.（3）.（4）.第四章 多元函数微积分一、多元函数的定义例1写出下列二元函数的几何意义（表示何种空间曲面）（1）.（2）.（3）.（4）.二、二元函数的定义域例1求下列函数的定义域（1）.（2）.（3）.（4）.三、多元函数的偏导数例1求函数在原点的偏导数.例2设，求和.例3设，求和.四、全微分的概念例1求的全微分五、复合函数的偏导数例1设，求和.例2设，求和.例3设，求.*例3设，求.例4求的全微分.*例4设，求和.六、隐函数的导数及偏导数例1设由下列方程确定，求和.（1）.（2）.*例1设，求七、高阶偏导数例1设，求和.*八、高阶复合偏导数参见
10、习题9-4的第12题（考纲未明确此部分内容，历年未考察过）练习题1.求下列函数偏导数和：（1）.（2）.2.设，求和.3.设确定，求和.4.设，证明.八、二重积分（一）二重积分的定义（二）直角坐标下二重积分的计算例1计算，.例2计算，由，与所围成的第一象限的图形.例3计算，是由直线与抛物线所围成的区域.例4计算，由，围成.（三）利用极坐标计算二重积分例1计算，是圆心在原点，半径为的圆.例2计算，是圆周及坐标轴围成的第一象限内的闭域.练习题1.设，求和.2.设，求和.3.设，求.4.设确定是的函数，求.5.求，其中积分区域是由轴，及所围成的平面区域.6.求，式中积分区域由所确定.7. 变换积分次
11、序，并计算积分.8.计算，式中积分区域由，所确定.第五章 常微分方程一、微分方程的基本概念例1验证（、为任意常数）是方程的通解.例2已知方程的通解为，求条件下的特解.例3确定下列函数关系式中的常数，使函数满足所给的初始条件.（1），.（2），.（3），.二、可分离变量的微分方程例1解微分方程.例2求下列方程的通解（1）.（2）.（3）.（4）.例3求方程的初始问题的特解.例4求初值问题，的特解.三、一阶线性微分方程例1求微分方程的通解.例2求下列非齐次方程的通解（1）.（2）.（3）.（4）.例3求，的特解.例4求下列方程的特解（1），.（2），.四、二阶常系数齐次线性微分方程例1求解下列常系数二阶方程（1）.（2）.（3）.例2求下列方程的特解（1），.（2），.*五、微分方程综合题【热点】*例1设，求.*例2求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于.（2012年倒数第二题考查了一阶线性微分方程的几何意义，与上题形式差不多）练习题1.求方程的通解.2.求方程的通解.3.求方程的通解.4.求下列方程满足初始条件的特解：.5.求下列二阶齐次方程的通解（1）.（2）.（3）.（4）.6.求下列初值问题的特解（1）求，.（2）求，.14
