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1、第1讲 计算综合（一） 繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题 1繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示： 甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母 2一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数所以需将带分数化为假分数 3某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观 4对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可 5本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级 第1讲 循环小数与分数1计算：【分析与解】原式=2计算：【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分
2、数的分子、分母均含有于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为19950.5 具体过程如下：原式=3计算：【分析与解】原式=4计算：已知=，则x等于多少?【分析与解】方法一：交叉相乘有88x+66=96x+56，x=125方法二：有，所以；所以，那么1.25 5求这10个数的和 【分析与解】方法一： = = = =. 方法二：先计算这10个数的个位数字和为； 再计算这10个数的十位数字和为
3、49=36，加上个位的进位的3，为； 再计算这10个数的百位数字和为48=32，加上十位的进位的3，为； 再计算这10个数的千位数字和为47=28，加上百位的进位的3，为； 再计算这10个数的万位数字和为46=24，加上千位的进位的3，为； 再计算这10个数的十万位数字和为45=20，加上万位的进位的2，为； 再计算这10个数的百万位数字和为44=16，加上十万位的进位的2，为； 再计算这10个数的千万位数字和为43=12，加上百万位的进位的1，为； 再计算这10个数的亿位数字和为42=8，加上千万位的进位的1，为；最后计算这10个数的十亿位数字和为41=4，加上亿位上没有进位，即为所以，这1
4、0个数的和为4938271591 6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少? 【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 7.我们规定，符号“”表示选择两数中较大数的运算，例如：352.9=2.93.5=3.5符号“”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.52.9=2.93.5=2.9请计算：【分析与解】原式 8规定（3）=234，（4）=345，(5)=456，(10)=91011，如果，那么方框内应填的数是多少?【分析与解】=. 9从和式中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?【分析与解】 因为，所以
5、,的和为l，因此应去掉与. 10如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929那么在所有这种数中。最大的一个是多少?【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918较大，于是最大的为 11请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】 有， 评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到，当时，有 当a、b、c两两互质时，显然满足题意 显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么
6、有，显然b、c为一对孪生质数 即可得出一般公式：，c与c+2均为质数即可. 12计算： 【分析与解】原式=.13已知.问a的整数部分是多少？ 【分析与解】 =.因为所以.同时所以a.综上有a所以a的整数部分为10114问与相比，哪个更大，为什么?【分析与解】方法一：令，有.而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是BA，有AA4B，所以有AA，那么A即与相比，更大方法二：设，则=，显然、都是小于1的，所以有A2，于是A.15下面是两个1989位整数相乘：问：乘积的各位数字之和是多少?【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变因为能被9整除，所以将一个乘以9，另一个除以9，使原算式
7、变成：= 得到的结果中有19809=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：+评注：1111111119=12345679； M的数字和为9k(其中M)可以利用上面性质较快的获得结果第2讲 计算综合（二） 本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算 1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3； 2从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式： 3平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)1 已知a=试比较a、b的大小.【分析与解】其中A=99,B=99+因
8、为A98+，所以有a b2.试求的和？【分析与解】 记则题目所要求的等式可写为：而所以原式的和为1评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想2 试求1+2+3+4+4+100的值?【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)项数2=(1+100)1002=5050方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1,上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101100，那么原式的和为10l100 2=5050方法三：整数裂项(重点)， 原式=(12+22+32+42+100
9、2)2=5050.3 试求l2+23+34+45+56+99100 【分析与解】方法一：整数裂项原式=(123+233+343+453+563+991003)3 =123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3 方程二：利用平方差公式12+22+32+42+n2= 原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99 = =328350+4950 =3333005计算下列式子的值： 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.81
10、0.0 【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算即先计算13+24+35+46+9799+98100。再除以100方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98100)100=(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(9798+97)+(9899+98)100=(12+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98)100=(9899100+9899)
11、100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98l00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)100=(11+22+32+42+52+992-99)100=(99100199-99)100=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51 评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的下面简单介绍一下整数裂项 12+23+34+(n-1)n=123
12、+233+343+(n-1)n3=123+23(4-1)+34(5-2)+(n-1)nn+1-(n-2)=6.计算下列式子的值： 【分析与解】 虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)，于是我们又有减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?=7计算下列式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=1980122=396024习题计算1718+1819+1920+2930的值提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-16176=7358.第3讲 多位数的运算多位数的运算，涉及利用10k-1，提出公因数，递推等方法求解问题 一、10k-1的运用 在多位数运算中，我们往往运用10k-1来转化问题； 如：590
