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1、新希望培训学校资料MATHEMATICS个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : : 姓名阳丰泽年级高三性别男教学课题 空间几何体的表面积和体积教学目标（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；重点难点课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_ 第 讲 空间几何体的表面积和体积知识点：多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长lS侧+2S底S底h=S直截面h直棱柱chS底h棱锥棱锥各侧面积之
2、和S侧+S底S底h正棱锥ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台 (c+c)h表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。题型1：柱体的体积和表面积【例1】一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求
3、长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为x cm、y cm、z cm、l cm依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+z2=16即l2=16，所以l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。【例2】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2= _ _。解：设三棱柱的高为h，上下底的
4、面积为S，体积为V，则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型2：锥体的体积和表面积PABCDO【例3】在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥PABCD的体积？解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角，PBO=60。在RtAOB中B
5、O=ABsin30=1, 由POBO，于是PO=BOtan60=，而底面菱形的面积为2。四棱锥PABCD的体积V=2=2。点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。题型3：棱台的体积、面积【例4】（1）如果棱台的两底面积分别是S、S，中截面的面积是S0，那么（ ）A B C2S0SS DS022SS（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）A32 B28 C24 D20解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；（2） 正六棱台上下底面面积分别为：S上6226，S下64224，V台，答案B。点评：本题考查棱
6、台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型4：圆柱的体积、表面积及其综合问题【例5】一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A B C D解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2r.S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S侧=h2=42r2，。答案为A。点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。【例6】如图99，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。解析：水面高度升高r，则圆柱体
7、积增加R2r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3=R2r。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型4：圆锥的体积、表面积及综合问题【例7】（1）（2002京皖春，7）在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120（如图所示），若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A BC D（2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（ ） A3 B3 C6 D9解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥CADE与圆锥BADE体积之差，又求得AB=1。，答案D。（2）Sabsin，a2
8、sin60，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223，答案A。点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。图【例8】如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A B C D图解析：如图所示，由题意知，r2hR2h，r 又ABOCAO，OA2rR，cos，答案为D。点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型5：球的体积、表面积【例9】已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面
9、积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。【例10】如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根据球的截面的性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共线，球的半径R=。又PO=a，OO
10、=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。点评：本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。题型9：球的面积、体积综合问题【例11】（1）（2006四川文，10）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（ ）A B C D（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。解析：（1）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球
11、的表面积是，选D。（2）作轴截面如图所示，设球半径为，则 ，。点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。【例12】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。解： 设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图， ，又，题型6：球的经纬度、球面距离问题【例13】在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离。解：设经过三点的截面为，设球心为，连结，则平面，所以，球心到截面距离为【例14】在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，中，所以
12、，两点的球面距离等于点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角。【例16】地球半径为R，A、B两地都在北纬45线上，且A、B的球面距离为 ，求A、B两地经度的差.解：90度1 半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A B C D 2一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是（ ） 3 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A 4 棱台上、下底面面积之比为，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A 5一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 6中，将三角形绕直角边旋转一周所成的几何体的体积为_ 7 等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是_8 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为，从长方体的一条对角线的一个端点出发，沿表面运动到另一个端点，其最短路程是_ 9 若圆锥的表面积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_ 10已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，
