3——相似理论与模型试验

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1、相 似 理 论 与 模 拟 实 验,授课对象：研究生 授课教师：潘卫东 二一三年五月,1 概 述 1.1 引 言 人们在对自然规律的不倦探索过程中，首先采用数理分析的方法对自然现象进行计算和分析，这是人们探索自然的一种有力工具。随后采用现场测试来解决一些比较直观的现象，推动了生产的发展。但自然界的现象毕竟是错综复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或根本无法解决，于是迫使人们不得不走直接实验的道路。,但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓住现象的本质（全部），从而无法向实验条件范围以外的同类现象推广。 但通过人们长

2、期实践、总结，一种用于指导自然规律研究的全新理论“相似理论”便应运而生了。它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。,当今，社会生产在不断发展，各个产业部门所提出问题日益复杂和繁多。用数学解析法（理论解）来解决这些课题愈来愈感到困难。有些课题至今尚未得到解析解，或者只作一些假设或简化后再求解，因而带来了一些误差。为了解决生产中和工程中提出的问题，人们开展了模型试验研究。,各种研究方法比较： 理论分析法解析解较多。 数值计算仿真分析由于土木工程的一些不确定因素，输入

3、参数难以精确，还有模型简化等问题，存在一定局限性。 现场实测只有在工程施工过程中进行，投入较大，周期长。 模型实验可使工程中发生的现象在实验室中再现出来，而且还可以对试验中主要因素进行独立控制。与现场实测相比，可进行方案的前期优化，具有省时、省力的优点。,1.2 相似理论 相似理论是说明自然界和工程中各种相似现象相似原理的学说。它的理论基础，是关于相似的三个定理。 以相似理论为指导，形成研究自然界和工程中各种相似现象的新方法，即所谓的“相似方法”。 “相似方法”是一种可以把个别现象的研究成果，推广到所有相似的现象上去的科学方法。 “模拟”一般情况是指在实验室条件下，用缩小的（特殊情况下也有放大

4、的）模型来进行现象的研究。,“模拟试验”用人工的方法再现自然界的某一现象。 模拟：（a）、原型；(b)、模型。 这样，又引伸出“模型试验”的概念。 模型试验是相似方法的重要内容。在研究中起着很重要的作用， 从相似理论的角度出发，“模型”是与物理系统密切有关的装置，通过对它的观察与试验，可以在需要的方面精确地预测系统的性能。这个被预测的物理系统，通常被叫做“原型”。,根据这个定义，为了利用一个模型，当然有必要在模型与原型间满足某种关系。这种关系称为模型设计条件，或系统的相似性要求。 由此可见，相似理论与模型试验的关系是十分密切的，是整个问题的两个组成部分。,1.3 模型试验的意义和现状 模型试验

5、的意义，可从五个方面加以说明： 模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界条件和自然条件的限制，做到结果准确。 模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便于把握、发现现象的内在联系。并且有时可用来对原型所得结论进行校验。 由于模型与原型相比，尺寸一般都是按比例缩小的。故制造加工方便，节省资金、人力和时间。, 模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能直接研究的实物对象的性能。 当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛

6、的应用前景。,1.4 物理模拟和数学模拟 模拟试验简单地说，是用人工的方 法再现自然界的某一现象。 物理模拟是指基本现象相同情况下的模拟，也称为同类模拟。 这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。区别只在于各物理量的大小比例不同。 （两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。,数学模拟是指存在于不同类型现象之间的模拟这时模型与原型的物理过程有本质的区 别，但它们的对应量都遵循着同样的方 程式，具有数学上的相似性。如二阶运 算子:2= 的微分方程 ， 它可代表重力场、电势场、温度场等。 这时，人们只要对不同的物理量建立起 一一对应关系，便可用一个现象去类比 另一不同现象的解。 在工程中，

7、常用电场来模拟温度场、材料的应力场和有限自由度的振动系统。,下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明这个问题。,右边代表一个LRC串联电路，现在要由它来模拟左边由k，m，u组成的单自由度振动系统。 作为它们一一对比的量是： 电感L 质量m 电阻R 阻尼u 电容C 弹簧k 外加电压E 外力F， 电荷q 位移y， ( 单位时间的电荷变化量。),它们之间方程式和初始相似性在于： ky=F(t) t=0时，y=y0 ， 。 L +R t=0时,q=q0， 。 所以，只要适当地选择各种物理量和初始条件，就能使y(t)和q(t)在对应的时间内完全成比例地变化 因此，通过测量各种电量就能换算出位移、速度等

8、机械量。,类似这种电路系统，当其适应性很强时，就是通常所说的模拟计算机。（仿真系统）。 物理模拟和数学模拟各有其特点: 物理模拟可把具体的现象再现出来，较之数学模拟能更全面地表现被模拟的现象。 数学模拟由于以方程为基础，可较方便地看出各种参量对结果的影响。,物理模拟试验：相似材料模型试验； 光弹性模拟试验； 其它模拟试验：离心模型试验； 底摩擦模型试验（模 拟重力场）。 测试技术：电测 光测 声测 测试系统：传感器量测仪表记录分析器。,2 量 纲 理 论 2.1 量 纲 物理量的广义度量单位，相同的物理量具有相同的量纲。 如 尺寸（长度）L 力 F 时间 T 它是表示物理量的种类，不是单位。

9、如长度单位有m，cm，mm，但量纲皆为L。,2.2 基本量纲与导出量 力学系统： F、L、T为基本量纲。 基本量纲具有：(a)、独立性 (b)、完整 基本量纲不是固定不变的，可根据具体研究问题决定。一般选F、L、T较为方便。 v v= L/ T 导出量纲：根据定义、定律由基本量纲导出的量纲。 F=ma m= M=,导出量纲： 某一量：Q=LaFbTc M=FT2/L 则 a=-1 b=1 c=2 无量纲量：如应变 =L0 F T=1 泊松比u 无量纲量：与单位无关，模型大小可不相同。,2.3 微商的量纲 s 与ds的量纲皆为L。 t 与 dt的量纲皆为 T。 v= ， V= a= ， a=,2

10、.4 量纲的性质 a、相同的物理量具有相同的量纲，但相同的量纲具有不同的物理量。 如应力和弹性模量，、E， b、同量纲的物理量的比值为无量纲的量，此量与单位无关。（=/E） c、基本量纲的组合不能成为无量纲的量，但基本量纲与导出量纲的组合可成为无量的量。 如， ,25 量纲的齐次原则 一个物理方程各项的量纲相同，称为量纲齐次原则。 对于完全方程，除以方程中的任一项，将变为无量纲的量。 如 ： s=v0t+ L 但对于非完全方程如P=0.013H(重液公式)则不成立。,2.6 量纲分析 基本量纲为: LMT 例1、现在研究一个动力学问题，即m、t、v、F间相 互关系，简写为： F=f(m,t，v

11、) F=k.ma . tb.vc F=kMaTb F=M.L.T-2 两式量纲相同：a=1, b-c=-2 c=1 所以 F=kmt-1v=k( 牛顿准则。,例2：均布荷载作用下简支梁的跨中挠度。 解 y=f(q，EI，L) 基本量纲：F L 静力学问题，与时间无关。 y=L y=k qa(EI)b.Lc L=kFaL-a.(FbL-2b.L4b).Lc,L：1=-a-2b+4b+c F：0=a+b y=k q-bEIbL1-3b 令：d=-b y=k 做二次试验后解得：d=1, k= y= 从上面二例可以看出，采用量纲分析法求等式的关键在于：选择的物理参数要正确。 量纲分析法除了求导相似准则

12、外，还可用于：（1）、导出无量纲量；（2）、可简化方程，把多个物理量减少等，其用途较多。,3、 相 似 理 论 3.1 相似概论 相似两种物理量对应时刻的对应点成比例，可称相似。 3.1.1 几何相似 对应尺寸成比例。 如两个三角形相似，对应边成比例， 比例值CL称为几何相似常数。,对应角相等（角度为无量纲的量）。 CL1-2= 相似常数 相似常数一对相似现象中所有对应点在对应时刻上同一物理量均保持其比值不变。 =idom（相似不变量） 相似不变量在对应点和对应时刻上保持相同的数值。 所有相似相象的相似不变量是一个常数，不变的。它是一个无量纲的量。,一个现象中的几个量的比值，在所有与它相似的现

13、象中保持不变。 在所有相似现象中，某一量（无量纲综合数群）在相对应点和相对应时刻上保持相同的数值。 梁的截面模量 w= Cw= CI=C,3.1.2 物理相似 荷载相似模型与原型在对应点上同一时刻的对应荷载成比例。 （荷载方向相同，大小成比例）。 集中荷载相似： （集中荷载相似常数）。 令几何相似常数 荷载集度相似常数 cq= 弯矩相似常数 cm=,自重相似常数，压强：c 密度：c 如果模型与原型在对应点的荷载相似（成比例），只要其中一种荷载相似常数已定，则其它种荷载常数也就确定了。 弹性模量相似常数 面力：,3.1.3 运动相似 时间相似: 时间相似常数 （距离相似） 则速度相似常数: 研究

14、动力学还有质量相似：,对于均质物体可用密度来表示： 动力学问题: F=ma. cF=cmca=c.c3L.cL.ct-2 动力学相似指标,314 边界相似 力学：边界约束条件等。平面应力模型 平面应模型 模型试验中约束条件很重要。 3.1.5 起始条件相似 初始条件，如运动学中初始振动相位等,3.2 相似第一定理 它是说明相似现象的性质，模型与原型相似，那么应具有： a、 在对应点对应时刻成比例。 b、 变化规律相同，可用相同的关系方程式来描述。 其中大多数的物理现象，其关系方程又可用微分方程的形式获得， 如质点运动方程和力学方程分别为： c、 各相似常数值不能任意选择，它们要服从于某种自然规

15、律的约束。 下面我们以速度公式为例具体说明： （1）,代入有关相似常数得： （2） （1）式实际上可用于描述彼此相似的两个现象。这时第一现象质点的运动方程为： （3） 第二现象质点运动方程为： （4） 将式（2）代入式（4），亦即在基本微分方程中对参数作相似变换， 可得： （5）,作相似变换时，为了保持基本微分方程（3）、（5） 的一致性,需使： 故 以后，我们把C称为相似指标，其意义在于：对于相似现象，它的数值为1。 同时也说明，各相似常数不是任意选择的，它们的相互关系要受“C值为1”这一条件的约束。 换言之，在cv、ct、 cL三者中，只有二者可任意选择，余者由上式确定。,这种约束关系还可以采取另外的形式，将相似常数cL等代入得： 或 不变量 同理对于f=ma，得： 或 不变量。 上两式的综合数群 和 ，都是不变量，它们被称之为相似准则。,应该注意：相似准则的概念 是“不变量”，而非“常量”。所说不变量，是因为相似准