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1、2-1 引言 2-2 Z变换的定义及收敛域 2-3 Z反变换 2-4 Z变换的基本性质和定理 2-5 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 2-6 傅氏变换的一些对称性质 2-7 离散系统的系统函数及频率响应,2-1 引言,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。,二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方
2、程转化为代数方程。,2-2 Z变换的定义及收敛域,一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：,*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。,二.收敛域 1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.,2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。,同样,对于级数 ，满足 的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。,(2).有限长序列,（3）. 右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,收敛
3、域,第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|; 第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 Rx-|z|; 两者都收敛的域亦为Rx-|z|; Rx-为最小收敛半径。,(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为：,(5)左边序列,第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理, 其收敛域为 ; 为最大收敛半径 .,双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。,(6)双边序列,第二项为左边序列，其收敛域为：,第一项为右边序列(因果)其收敛域为：,当Rx-Rx+时，其收敛域为,其收敛域应包括 即 充满整个Z平面
4、。,例2-1 求序列 的Z变换及收敛域。 解：这相当 时的有限长序列，,当 时，这是无穷递缩等比级数。,例2-2 求序列 的Z变换及收敛域。 解：,*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。,收敛域：,例2-3求序列 的Z变换及收敛域。,同样的，当|b|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。,收敛域：,*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。,2-3 Z反变换 一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。,Z变换公式：,C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.,0,c,1.留数法 由留数定理可知：,为c内的第k个极点， 为c外的第m个极点， Res 表示极点处
5、的留数。,二.求Z反变换的方法,2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：,留数的求法： 1、当Zr为一阶极点时的留数：,例2-4 已知,解: 1）当n-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此,，求Z反变换。,2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:,2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多 项式的商。分子的次数低于分母时称为真分 式。 部分分式：把x的一个实系数的真分式分
6、解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原 分式的“部分分式”。,通常，X(z)可 表成有理分式形式：,因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，MN时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为：,的Z反变换。,例2-5利用部分分式法，求,解：,分别求出各部分分式的z反变换（可查 P44表1.2），然后相加即得X(z)的z反变换。,3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其
7、系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。,例2-6 试用长除法求 的z反变换。,解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列),*双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。,2-4 Z变换的基本性质和定理 如果 则有：,*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。,1.线性,例2-7已知 ,求其Z变换。,解：,2. 序列的移位,如果 则有：,例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,
8、3. Z域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,4. 序列的线性加权(Z域求导数),如果,，则,证明：,5. 共轭序列,如果,，则,证明：,6. 翻褶序列,如果,，则,证明：,7. 初值定理,证明：,8. 终值定理,证明：,又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故 因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取z 1的极限。,9. 有限项累加特性,证明：,10.序列的卷积和(时域卷积定理),证明：,例2-9,解：,11.序列相乘(Z域卷积定理),其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略）,例
9、2-10,解：,12.帕塞瓦定理(parseval),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）,如果,则有:,*几点说明：,2-5 Z变换与拉氏变换、 傅氏变换的关系,一.Z变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则,序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想抽样信号的拉氏变换。,2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有：,因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。,
10、=0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆；,0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内；,0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。,(1).r与的关系,= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴； =0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于原点的射线； S:宽 的水平条带， 整个z平面.,0,jImZ,ReZ,(2).与的关系（=T）,二.Z变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数
11、字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。,所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。,三.序列的傅氏变换,1.正变换:,2.反变换:,2-6 傅氏变换的一些对称性质,一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n) 则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则 再将-n代入，则 根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。,2.共轭反对称序列 设一复序列，如果满足x
12、o(n)=-xo*(-n) 则称序列为共轭反对称序列。同样有：,根据定义，则,这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇 函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。 *特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。,二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和,其中，,四、两个基本性质,证明：,证明：,五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系,1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部,证明：,2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部,证明：,六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、 虚部的关系,1.序列的偶部的傅氏变
13、换等于其傅氏变换的实部,证明：,2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部 再乘以j。,证明：,七、序列为实序列的情况,8.实序列也有如下性质：,线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应,H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且 在单位圆 上的系统函数就是系统的频率 响应。,2-7 离散系统的系统函数 及频率响应,一.系统函数:,我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。 z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)| ，即系统稳定；也就是说，收敛域 包括单位圆的系统是稳定的。 因果系统的单位抽样响应
14、为因果序列， 其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。,二.因果稳定系统,三.系统函数和差分方程的关系,线性移不变系统常用差分方程表示：,取z变换得：,对上式因式分解，令,得：,四.系统的频率响应的意义 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的Z变换 称作系统频率响应。,也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。,对于线性移不变系统：,五.频率响应的几何确定,1.频响的零极点表达式,模：,相角：,2.几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线
15、性相移分量(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。,零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。,。,。,例2-14 设一阶系统的差分方程为:,解: 对差分方程两边取Z变换:,，a为实数,求系统的频率响应。,这是一因果系统，其单位抽样响应为 而频率响应为: 幅度响应为: 相位响应为:,零极点分布情况,0,0,-1,0,a,1,六.IIR系统和FIR系统,1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 延伸到无穷长,即n时,h(n)仍有值,这样的系 统称作IIR系统。,2.有限长单位冲激响应(FIR)系统 h(n)为有限长序列的系统。,
