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1、动点问题汇总一、如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值思路点拨1第（1）题说明ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点2不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边
2、上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论3将S4代入对应的函数解析式，解关于t的方程4分类讨论MON为直角三角形，不存在ONM90的可能满分解答（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5点A的坐标是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如图2，图3，过点N作NHAB，垂足为H在RtBNH中，BNt，所以如图2，当M在AO上时，OM2t，此时定义域为0t2如图3，当M在OB上时，OMt2，此时定义域为2t5 图2 图3把S4代入，得解得，（舍去负值）因此，当点M在线段OB上运动时，存在S4的情形，此
3、时如图4，当OMN90时，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如图5，当OMN90时，N与C重合，不存在ONM90的可能所以，当或者时，MON为直角三角形 图4 图5二、已知RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：；思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了请你完成证明过程（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 思路点拨1本题的证明思路是构造ACMDCM，证明BCND
4、CN2证明BCNDCN的关键是证明3证明的结论是勾股定理的形式，基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形满分解答（1）如图3，将沿直线对折，得，连，则因此，又由，得 由，得又，所以因此，所以在Rt中，由勾股定理，得即 图3 图4（2）关系式仍然成立如图4，将沿直线对折，得，连，则所以，又由，得 由，得又，所以因此，又由于，所以在Rt中，由勾股定理，得即三、太原2008 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点（1）求点A、B、C的坐标（2）当CBD为等腰三角形时，求点的坐标（3）在直线AB上
5、是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由图1思路点拨1数形结合，由两条直线的解析式组成的方程组的解，就是点A的坐标2分类讨论等腰三角形CBD，按照顶角的顶点分三种情况讨论3在计算点D的坐标时，构造以C为顶点的直角三角形，灵活运用三边比3454画平行四边形时，是点E决定点D的位置：过点O作AC的平行线交AB于E，由OE与AD平行且相等得到点D的两个位置，这样就容易得到三个平行四边形满分解答（1）在中，当时，所以点的坐标为在中，当时，所以点的坐标为（4，0）解方程组 得，所以点的坐标为（2）因为点D在直线上，设点D的坐标为当CB
6、D为等腰三角形时，有以下三种情况：如图2，当DBDC时，设底边BC上的高为DM在RtCDM中，所以这时点D的坐标为如图3，当CDCB5时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）根据对称性，点D关于点C对称的点D的坐标为（8，3）如图4，当BCBD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN在RtBCN中，BC5，所以CN4，因此DC8在RtDCM中，DC8，所以，这时点D的坐标为综上所述，当CBD为等腰三角形时，点D的坐标为、（0，3）、（8，3）或 图2 图3 图4（3）如图5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：当四边形AEOD为平行四边形时，当四边形ADEO为
7、平行四边形时，当四边形AODE为平行四边形时，考点伸展如图5，第（3）题这样解：在ABC中，已知BC5，BC边上的高为，解得AB，AC由，得，所以由，得，所以结合图5，可以计算出，或四、河北2009如图1，在RtABC中，C90，AC3，AB5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t2时，AP_，点Q
8、到AC的距离是_；（2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值思路点拨1第（1）题求点Q到AC的距离，暗示了第（2）题求APQ的高的方法2分类讨论直角梯形QBED的存在性，按照DE与AB、AC平行的可能性分两种情况，列方程的依据是RtAQP的三边比为3453分类讨论DE经过点C，按照P运动的方向分两种情况，列方程的依据是PCQC满分解答（1）1；（2）如图2，作QFAC于F在RtABC中，AC3，AB5，所
9、以BC4，在RtAQF中，AQt，所以因此（3）如图3，当DE/QB时，AQP90在RtAQP中，AP，AQt，所以解得如图4，当DE/BC时，APQ90在RtAQP中，AP，AQt，所以解得 图2 图3 图4（4）或考点伸展第（4）题可以这样解：过点Q作QGBC于G，那么如图5，点P由C向A运动，DE经过点C，此时PCt由，得解得如图6，点P由A向C运动，DE经过点C，此时PC6t由，得解得情形还可以用几何说理解答：由于CQCPAQ，所以QACQCA根据等角的余角相等，因此BBCQ所以CQBQ于是得到Q是AB的中点， 图5 图6五、（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=
10、4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，AB
11、EACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定
12、理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。六、（2012四川南充8分）在RtPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B，(1)求证：MA=MB(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。【答案】解：（1）证明：连接OM 。 RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点， PQ=4，OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=450 。 PMA+AMO=OMB+AMO，PMA=OMB。PMAOMB（ASA）。 MA=MB。(2) AOB的周长存在最小值。理由如下:PMAOMB ， PA=OB。 OA+OB=OA+PA=OP=4。令OA=x， AB=y，则
