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1、0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。三、动态规划的原理及过程：number4，capacity7i1234w(重量)3521v(价值)91074原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问
2、题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。过程：a)把背包问题抽象化（X1，X2，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选），Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积（重量）；b)建立模型，即求max(V1X1+V2X2+VnXn)；c)约束条件，W1X1+W2X2+WnXn (V2X2+V3X3+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V
3、3X3+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+VnYn)+V1X1(V1X1+V2X2+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f)寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max V(i-1,j)
4、，V(i-1,j-w(i)+v(i) 其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i)+v(i)表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1)j=w(i) V(i,j)=maxV(i-1,j)，V(i-1,j-w(i)+v(i)number4，capacity7i1234w(重量)3521v(价值)91074四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。从i=1,j=c即m1c开始。1、对于mij，如果mij=mi+1j，则物品i没有装入背包，否则物品i装入背包； 2、为了确定后继即物品i+1，应该寻找新的j
5、值作为参照。如果物品i已放入背包，则j=j-wi；如果物品i未放入背包，则j=j。3、重复上述两步判断后续物品i到物品n-1是否放入背包。4、对于物品n，直接通过mnj是否为0来判断物品n是否放入背包。只要能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。序号WeightValue123456713947111316202025104711111114173274711111111114144444444从表格中可以看出背包的最大价值value=20，即当X1=1，X2=0，X3=1，X4=1。五、算法测试代码：#include#in
6、clude#include#include#include#includeusing namespace std;const int c = 8; /背包的容量const int w = 0,3,5,2,1; /物品的重量，其中0号位置不使用 。 const int v = 0,9,10,7,4; /物品对应的待加，0号位置置为空。const int n = sizeof(w)/sizeof(w0) - 1 ; /n为物品的个数 int xn+1;void package0_1(int m11,const int w,const int v,const int n)/n代表物品的个数 /采用从
7、底到顶的顺序来设置mij的值 /首先放wn for(int j = 0; j = c; j+) if(j = 1; i-) for(int j = 0; j = c; j+) if(j wi) mij = mi+1j;/如果j mi+1j-wi + vi? mi+1j : mi+1j-wi + vi; void answer(int m11,const int n) int j = c; int i; for(i = 1; i = n-1; i+) if(mij = mi+1j) xi = 0; else xi = 1; j = j - wi; xn = mij ? 1 : 0; int ma
8、in() int m611=0; package0_1(m,w,v,n); for(int i = 0; i = 5; i+) for(int j = 0; j = 10; j+) printf(%2d ,mij); cout endl; answer(m,n); cout The best answer is:n; for(int i = 1; i = 5; i+) cout xi ; system(pause); return 0;0-1背包回溯法解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：01背包属
9、于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去。上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值=当前最优价值bestp。为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。三、回溯法实现的过程：number4，capacity7i1234w(重量)3521v(价值)91074根据问题的解空间，对于n=4时的0-1背包问题，可用一棵完全二叉树表示其解空间，如下图所示。回溯过程：从根节点A开始回溯，节点A是当前的唯
10、一的活节点，在这个纵深方向先进入A的左子树B或者右子树C。假设先选择节点B，此时，节点B成为当前的活节点，节点B成为当前扩展节点。节点A到B选择w1=3,节点B背包剩余容量r=4,价值v=9,节点B到节点D，由于选择w2=5,此时背包容量r=4,背包容量不够，因而不可行，利用剪枝函数，减去以D为根节点的子树；然后回溯到B的右节点E，此时，E节点的剩余容量r=4，v=9, 选择w3=2,符合要求，节点E成为当前的扩展节点，进入节点J,此时，节点J的剩余容量r=2，v=16，选择w4=1,符合要求，到叶子节点T，此时，节点T的剩余容量r=1，v=20；因此得到一个可行解，即x=(1,0,1,1)，
11、此时节点T成为一个死结点，回溯到节点U，得到一个可行解v=16,即x=(1,0,1,0),节点U成为死结点，回溯到节点E,进入右子树，节点K的剩余容量r=4,v=9,选择w4=1，符合要求，到达节点V，v=13,得到一个可行解x=(1,0,0,1),节点V成为死结点，回溯到节点K，到达叶子结点W，v=9得到一个可行解x=(1,0,0,0)。按此方式继续搜索整个解的空间。搜索结束后找到的最好解是0-1背包问题的最优解。五、算法测试代码：#include #include int n;/物品数量double c;/背包容量double v100;/各个物品的价值double w100;/各个物品的重量double cw = 0.0;/当前背包重量double cp = 0.0;/当前背包中物品价值double bestp = 0
