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1、 利用轴对称求最短距离问题基本题引入:如图(1),要在公路道a上修建一个加油站,有,两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方,可使两人到加油站的总路程最短?你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律?图3思路分析:如图2,我们可以把公路a近似看成一条直线,问题就是要在a上找一点M,使AM与BM的和最小。设A是A的对称点,本问题也就是要使AM与BM的和最小。在连接AB的线中,线段AB最短。因此,线段AB与直线a的交点C的位置即为所求。如图3,为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN、BN、AN。因为直线a是A,A的对称轴,点M,N在a上,所以AM= AM,AN
2、= AN。AM+BM= AM+BM= AB在ABN中,ABAN+BNAM+BMAN+BN即AM+BM最小。 教师要充分关注学生的学习过程,遵循学生认知规律,使学生不仅获得数学基础知识、基本技能,更要获得数学思想和观念,形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化,为了提高学生的应对能力,除了进行专题训练外,还要多归纳多总结,将一类问题集中呈现给学生。一、三角形中的轴对称题目1: 如图,在ABC中,AC=BC=2,ACB=90,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是_点评:本题只要把点C、D看成基本题中的、两镇,把线段AB看成燃气管道a,问题就可以迎刃而解了,本题
3、只是改变了题目背景,所考察的知识点并没有改变。第1题图二、四边形中的轴对称题目:2: 如图,正方形ABCD的边长为8, M在DC上,且DM=2,N是AC上的动点,则DN+MN的最小值为多少?点评:此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质,点D关于直线AC的对称点正好是点B,最小值为MB10。N第2题图三、圆中的轴对称题目3:已知:如图,已知点A是O上的一个六等分点,点B是弧AN的中点,点P是半径ON上的动点,若O的半径长为1,求AP+BP的最小值。第3题图点评:这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B在圆上,AB交ON于点p,由AON60, BON30,AOB90,半径长为1可
4、得AB。当点P运动到点p时,此时AP+BP有最小值为 四、立体图形中的轴对称题目5 如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒,一只蚂蚁在盒外表面的A处,它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物,已知盒高h10cm,底面圆的周长为32cm,A距离下底面3cm请你帮小蚂蚁算一算,为了吃到食物,它爬行的最短路程为 cmH 第4题图2点评:如图2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决,将圆柱的侧面展开得矩形EFGH,作出点B关于EH的对称点B,作ACGH于点C,连接A B。在RtA BC中,AC16, BC12,求得A B20,则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。综上所述,引导学生在熟练掌握书本例题、习题的
5、基础上,进行科学的变式训练,对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是,变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维,进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力,有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。11(2015南宁)如图6,AB是O的直径,AB=8,点M在O上,,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点,若MN=1,则周长的最小值为( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)79(2015资阳)如图5,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A
6、处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是A13cmBcmCcmDcm跟踪练习1: 如图7,已知点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是半径ON上的动点,若O的半径长为1,则AP+BP的最小值为_。图73、变形3: 点A的坐标为(0,2)点,点B是半径为的B的圆心,点B的坐标为(4,2),请你探索在x轴上是否存在一个点C以及在B上是否存在一个点D,使得AC+CD最小,若存在,请你在图中作出点C和点D,并求出点C、D的坐标和AC+CD的最小值;若不存在请说明理由。理解转化题意:点A 点B在X轴的同旁,作点A关于x轴的对称点E,连结BE交X轴于点C, ,交B于点D,点C点D即为所求。解:作点
7、A关于x轴的对称点E,作直线BE交x轴于点C,交B于点D,连接AC,则点C、D即为所求 A(0,2)E(0,-2) 设BE的数学表达式为y=kx+b,则 k=1y=x-2C(2,0)过点B作BGx轴于点 G则CG=4-2=2 BG=2BC=2 BD=CD=AC+CD= 2+=3。五、延伸拓展双重对称24(12分)(2015德州)已知抛物线y=mx2+4x+2m与x轴交于点A(,0),B(,0),且=2,(1)求抛物线的解析式(2)抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小?若存在,请画出图形(保留作图痕
8、迹),并求出周长的最小值;若不存在,请说明理由(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标考点:二次函数综合题菁优网版权所有分析:(1)利用根据与系数的关系得出+=,=2,进而代入求出m的值即可得出答案;(2)利用轴对称求最短路线的方法,作点D关于y轴的对称点D,点E关于x轴的对称点E,得出四边形DNME的周长最小为:DE+DE,进而利用勾股定理求出即可;(3)利用平行四边形的判定与性质结合P点纵坐标为4,进而分别求出即可解答:解:(1)由题意可得:,是方程mx2+4x+2m=0的两根,由根与系数的关系可得,+=,=2,=2,=2,即=2
9、,解得:m=1,故抛物线解析式为:y=x2+4x+2;(2)存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,y=x2+4x+2=(x2)2+6,抛物线的对称轴l为x=2,顶点D的坐标为:(2,6),又抛物线与y轴交点C的坐标为:(0,2),点E与点C关于l对称,E点坐标为:(4,2),作点D关于y轴的对称点D,点E关于x轴的对称点E,则D的坐标为;(2,6),E坐标为:(4,2),连接DE,交x轴于M,交y轴于N,此时,四边形DNME的周长最小为:DE+DE,如图1所示:延长EE,D交于一点F,在RtDEF中,DF=6,EF=8,则DE=10,设对称轴l与CE交于点G,在RtDG
10、E中,DG=4,EG=2,DE=2,四边形DNME的周长最小值为:10+2;(3)如图2,P为抛物线上的点,过点P作PHx轴,垂足为H,若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,则PHQDGE,PH=DG=4,|y|=4,当y=4时,x2+4x+2=4,解得:x1=2+,x2=2,当y=4时,x2+4x+2=4,解得:x3=2+,x4=2,故P点的坐标为;(2,4),(2+,4),(2,4),(2+,4)点评:此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识,利用数形结合以及分类讨论得出P点坐标是解题关键六、延伸拓展能力提高22(14分)(2015日照)如图,抛物线
11、y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0)()求抛物线的解析式和tanBAC的值;()在()条件下:(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQPA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与ACB相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?考点:二次函数综合题;线段的
12、性质:两点之间线段最短;矩形的判定与性质;轴对称的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.专题:压轴题分析:()只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n,就可得到抛物线的解析式,然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标,过点B作BHx轴于H,如图1易得BCH=ACO=45,BC=,AC=3,从而得到ACB=90,然后根据三角函数的定义就可求出tanBAC的值;()(1)过点P作PGy轴于G,则PGA=90设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x0,则PG=x,易得APQ=ACB=90若点G在点A的下方,当PAQ=CAB时,PAQCAB此时可证得PGABCA,根据相似三角形的性质可得
13、AG=3PG=3x则有P(x,33x),然后把P(x,33x)代入抛物线的解析式,就可求出点P的坐标当PAQ=CBA时,PAQCBA,同理,可求出点P的坐标;若点G在点A的上方,同理,可求出点P的坐标;(2)过点E作ENy轴于N,如图3易得AE=EN,则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN作点D关于AC的对称点D,连接DE,则有DE=DE,DC=DC,DCA=DCA=45,从而可得DCD=90,DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得:当D、E、N三点共线时,DE+EN=DE+EN最小此时可证到四边形OCDN是矩形,从而有ND=OC=3,ON=DC=DC然后求出点D的坐标,从
14、而得到OD、ON、NE的值,即可得到点E的坐标解答:解:()把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得,解得:抛物线的解析式为y=x2x+3联立,解得:或,点B的坐标为(4,1)过点B作BHx轴于H,如图1C(3,0),B(4,1),BH=1,OC=3,OH=4,CH=43=1,BH=CH=1BHC=90,BCH=45,BC=同理:ACO=45,AC=3,ACB=1804545=90,tanBAC=;()(1)存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与ACB相似过点P作PGy轴于G,则PGA=90设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x0,则PG=xPQPA,ACB=90,APQ=ACB=90若点G在点A的下方,如图2,当PAQ=CAB时,则PAQCAB