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1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,1.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_ _，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的_ _构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.,有序数对,(x，y),有序数,对(x，y),2.二元一次不等式所表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式_在平面直角坐标系中 表示_某一侧所有点组成的_，把直线画成 _，以表示区域不包括边界.当在坐标系中画不等式 Ax+By+C0所表示的平面区域时，此区域应包括边界，把边界 画成_.,Ax+By+C0,Ax+By+C=0,平面区域,虚线,实线,(2)二元一次不等式所表示
2、的平面区域可用_进行验证，任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式.若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.通常情况下，只要原点不在直线上，就可以选择原点作为特殊点进行检验.,特殊点法,3.线性规划的有关概念,不等式(组),不等式(组),解析式,一次,(x,y),可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,4.解线性规划问题的一般步骤 (1)在平面直角坐标系中画出_. (2)分析_的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定_. (4)求出_. 5.常见的三种目标函数 (1)z=ax+by. (2)z=(x-a)2+(y-b)2. (
3、3),可行域,目标函数,最优解,最值或范围,1.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内，则m的取值范围是( ) (A)m1 (B)m1 (C)m1 【解析】选D.依题意有2m+3-50，解得m1.,2.若x,y满足约束条件 则z=3x-y的最小值是( ) (A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5,【解析】选C.z=3x-yy=3x-z,作出可行域，由图可知过A点时z取最小值，把点A(0,4)代入，可得z=-4.,3.已知点P(x,y)的坐标满足条件 则x2+y2的最大值为 ( ) (A) (B) (C)8 (D)10 【解析】选D.画出不等式组对应的可 行域如图所示：易
4、得A(1，1)， B(2，2)， C(1，3)， 故|OP|的最大值为 即x2+y2的最大 值等于10，故选D.,4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) (A)2 000元 (B)2 200元 (C)2 400元 (D)2 800元,【解析】选B.设甲型货车使用x辆， 乙型货车使用y辆.则 所花运费为 z=400x+300y.画出可行域(如图)， 由图可知当直线z=400x+300y经过 点A(4,2)时
5、，z取最小值，最小值 为zmin=2 200，故选B.,5.不等式组 表示的平面区域的面积为_. 【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，其面积等于 答案：9,考向 1 平面区域的相关问题 【典例1】(1)(2013宁波模拟)在平面直角坐标系中，不等式 组 表示的平面区域的面积是( ) (A) (B)4 (C) (D)2,(2)(2012福建高考)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束 条件 则实数m的最大值为( ) (A) (B)1 (C) (D)2 【思路点拨】(1)先画出不等式组所表示的平面区域，判断其形状并求其面积. (2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数
6、y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.,【规范解答】(1)选B.画出 平面可行区域，可知该区域 是一个等腰直角三角形，且,(2)选B如图， 当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时，即三条曲线有唯一公共点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x+y-3=0上，由选项知，m的最大值为1,考向 2 线性规划的相关问题 【典例2】(1)(2013天津高考)设变量x, y满足约束条件 则目标函数z=y-2x的最小值为( ) (A)-7 (B)-4 (C)1 (D)2,(2)(2013厦门模拟)设变量x,y满足约束条件： 则 的最大值为( ) (A) (B)
7、(C)1 (D)不存在 (3)(2013大纲版全国卷)记不等式组 所表示 的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点，则a的取值 范围是 .,【思路点拨】(1)典型的线性规划问题，作出可行域，画出直线y-2x=0，通过截距，观察确定最优解. (2)非线性目标函数，借助斜率模型进行求解. (3)可行域已经确定，由目标函数表示的直线过定点(-1,0)，可以借助于斜率来解决.,【规范解答】(1)选A.由z=y-2x，得y=2x+z.作出不等式组 对应的平面区域ABC.作直线y=2x，平移直线y=2x+z，由图 象知当直线经过点B时，y=2x+z的截距最小，此时z最小.由 代入z=y-2x得z
8、=3-25=-7.所以最小 值为-7.,(2)选B.画出可行域(如图)，又 表示(x,y)与定点 P(-2,0)连线的斜率，所以当(x,y)在点A(0,1)时 取到 最大值,(3)画出可行域如图所示, 当直线y=a(x+1)过点A(0,4)时,a取 得最大值为4,当直线y=a(x+1)过点 B(1,1)时,a取得最小值为 .所以 a的取值范围为 ,4. 答案: ,4,【加固训练】(2013浙江高考)设z=kx+y，其中实数x,y满足 若z的最大值为12，则实数k= .,【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 由z=kx+y可得y=-kx+z，知其在y轴上的 截距最大时，z最大，由图知当-k 且
9、直线过点A(4,4)时，z取最大值12， 即4k+4=12，所以k=2. 答案：2,考向 3 线性规划的实际应用 【典例3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？,【思路点拨】设出午餐和晚餐的单位个数，
10、列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解. 【规范解答】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元, 则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足 即,作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.,【规律方法】求解线性规划应用题的注意点 (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号. (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x,y的取值范围，
11、特别注意分析x,y是否是整数、是否是非负数等. (3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.,【变式训练】(2012南昌模拟)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨甲产品每吨利润为5万元，乙产品每吨利润为3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业的最大利润为_,【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，由题 意可得 目标函数为z5x3y，,作出如图所示的可行域(阴影部分)当直线5x3yz经过A(3,4)时，z取得最大值， zmax533427(万元). 答案：27万元,2.(2013杭州模拟)如果不等式组 表示的平面区 域是一个直角三角形，则该三角形的面积为( ) (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或,【解析】选C.有两种情形：(1)直角由y=2x与kx-y+1=0形成， 则 三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)， 面积 为 (2)直角由x=0与kx-y+1=0形成，则k=0，三角形的三个顶 点为(0，0)，(0，1)， 面积为,4.(2013嘉兴模拟)设x,y满足约束条件 则 的最大值为 ( ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)10,
