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1、初高中数学衔接数学思想方法目录一、方程与函数思想1.1方程思想1.2函数思想二、数形结合思想2.1数形结合思想三、分类讨论思想1.1 方程思想方程知识是初中数学的核心内容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中十分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数或几何问题。（1）高中体现函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系
2、式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决举例：例1已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为，（0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0m1时，使f(x)的值域为logmm(1)，logmm(1)的定义域区间为,(0)是否存在？请说明理由解 （1）x3或x3 f(x)定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数 （2）若f(x)在,上的值域为logmm(1),logmm(1)0m
3、1, f(x)为减函数 即即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的m存在 例2.对于函数f(x)，若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)（1）若a=1,b=2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+对称，求b的最小值 解 （1）当a=1,b=2时，f(x)=x2x3，由题意可知x=x2x3，得x
4、1=1,x2=3 故当a=1,b=2时，f(x)的两个不动点为1,3 （2）f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)恒有两个不动点，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有两相异实根=b24ab+4a0(bR)恒成立 于是=(4a)216a0解得0a1故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1 （3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又A、B关于y=kx+对称 k=1 设AB的中点为M(x,y)x1,x2是方程ax2+bx+(b1)=0的两个根 x=y=，又点M在直线上有，即a0，2a+2当且仅当2a=即a=(0,1
5、)时取等号，故b，得b的最小值 (2)初中体现所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决。方程思想是中学数学中非常重要的数学建模思想之一，在初中数学中的应用十分广泛。方程型综合题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明。举例例3、如图，抛物线x2pxq与轴交于、两点，与轴交于点，若y O A B x C ACB90O
6、 ，且tanCAOtanABO=2。(1)求Q的值，(2)求此抛物线的解析式。(3)设平行于x轴的直线交抛物线于、两点。若以为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径。 例4、如图，D、E分别是三角形ABC的AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若三角形OCD的面积是2，三角形OBE的面积是3，三角形OBC的面积是4，求四边形ADOE的面积。 解：连接AO并延长交BC于F。设SAOE为x，SAOD为y。 因为ABF与ACF同高，所以SABF:SACF=底之比=BF:CF=2BF:2CF。 同理SOBF:SOCF=底之比=BF:CF。 由和得SABF:SACF=SOBF:SOCF=（SABF-S
7、OBF）:（SACF-SOCF）=SAOB:SAOC。 所以SAOB:SAOC=SOBF:SOCF 同理，SBOA:SBOC=SOAD:SOCD。即（3+x）:4=y:2 同理，SCOA:SCOB=SOAE:SOBE。即（y+2）:4=x:3 解这个方程组即可。解得x=4.2，y=3.6。所以所求四边形面积=x+y=8。 例5、正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的图形阴影部分的面积是_ （设每一个叶片的面积为x，“高脚杯 ”面积为y） 例6、在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx-(m0)与x轴交于A、B两点。若点A、B到原点的距离分别为OA、OB,且满足,则m的值为 思路
8、点拨：设A（x1,0）,B(x2,0),把OA、OB用x1 ，x2的式子表示，建立m的方程。1. 2 函数思想函数的思想方法就是用联系和变化的观点看待或揭示数学对象之间的数量关系。能充分利用函数的概念、图象和性质去观察分析并建立相应的函数模型解决问题。方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题。在确定函数解析式中的待定系数、函数图像与坐标的交点等问题时，常将问题转化为解方程和解方程组。(1)高中体现举例：例1、实数k为何值时，方程kx2+2|x|+k=0有实数解？解：运用函数的思想解题，变形得由方程可得k方程有解时k的了值范围就是函数f（x）的值域，显然1
9、f(x)0故1k0即为所求。例2、有一组数据的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11 （1）求出第一个数关于的表达式及第个数关于的表达式;（2）若都是正整数，试求第个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据 解（1） 依条件得：由得：，又由得：（2）由于是正整数，故 ，故当=10时, ，, 此时，,例3、已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a0）满足条件：f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根 （1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n（mn），使f(x)的定义域和值域分
10、别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由 解：(1)方程ax2+bx2x=0有等根，=(b2)2=0，得b=2。由f(x1)=f(3x)知此函数图像的对称轴方程为x=1，得a=1，故f(x)=x2+2x (2)f(x)=(x1)2+11，4n1，即n 而抛物线y=x2+2x的对称轴为x=1，当n时，f(x)在m,n上为增函数。若满足题设条件的m,n存在，则即又mn m=2,n=0，这时，定义域为2，0，值域为8，0 由以上知满足条件的m,n存在,m=2,n=0 （2）初中体现函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题，转化为函数来解决问题。函
11、数型主要是几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力例4某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区两地区与该
12、农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为(30x)台；派往B地区的乙型收割机为（30x）台，派
13、往B地区的甲型收割机为（x10）台 y1600x1800(30x)1200(30x)1600(x10)200x74000 x的取值范围是：10x30(x是正整数) （2）由题意得200x7400079600， 解不等式得x28.由于10x30，x取28，29，30这三个值， 有3种不同分配方案 当x28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台 当x29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台 当x30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区 （3）由于一次函数y200x74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x30时，y取得最大值.如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x30，此时，y60007400080000建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割要全部派往B地区，可使公司获得的租金最高2.1数形结合思想数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都要蕴涵着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。数形结合思想就是把代数、几何知识相互转化，相互利用的一种解题思想。运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察
