点直线平面

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1、第二章 投影法和,点、直线、平面 的投影,投影法的基本知识,一、投影法的形成,根据影子现象,加以抽象,在平面上形成图像的方法, 称为投影法。,物体,投射线,投射中心S,投影面P,投影,投影三要素：,投射线(投射中心） 物体 投影面,投影方法,中心投影法,平行投影法,正投影法,斜投影法,二、投影法的分类,投射线倾斜于投影面,投射线垂直于投影面,投射线相互平行,投射线相交于投影中心,中心投影法,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。应用于透视图的画法,投影特性,物体位置改变，投影大小也改变,度量性差，但立体感好,特点：,透视图,平行投影法,投 影 特 性,投影大小与物体和投影

2、面之间的距离无关。,正投影法,投影方向,正投影,斜投影法,投影大小与物体和投影面 之间的距离无关。,投 影 特 性,应用于斜轴测投影图,特点：,度量性较差，立体感较好,斜轴测图,投影方向,三、工程上常用的四种图示方法,1、透视投影图,物体按中心投影法投影到一个投影面上，所得的投影图为透视投影图。,2、轴测投影图,按平行投影法将物体及其直角坐标投影到一个投影面上，所得的投影图为轴测影图，简称轴测图。,度量性较差，立体感较好,3、标高投影图 利用正投影法，将物体投射在一个水平投影面上得到的投影图，为了解决物体高度方向的度量问题，在投影图上画出一系列的等高线，并在等高线上标出高度尺寸（标高）。这种图

3、主要用于地形图、土建工程图中表示地形构造和道路工程图等。,4、正投影图,按正投影法将物体投影到按一定要求配置的两个或两个以上的投影面上所得的图形称正投影图。,度量性好，但立体感差,四、 三面投影及其投影规律,1、三视图的形成,根据形体的单面正投影无法确定物体的形状,采用多面投影图。,通过多面正投影图，能确定物体的形状,投影面,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,视图将物体向投影面作正投影所得的图形称为视图。,正面投影,正立面图,水平投影,侧面投影,平面图,左侧立面图,2、三视图的位置关系,前,后,下,上,前,后,左,右,3、三视图的投影规律,长

4、对正、高平齐、宽相等,三等关系：,（1）,（2）,（1）,（2）,采用多面投影图。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,一、点在一个投影面上的投影,a,1、空间点A在P面上的投影唯一,2、点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。,2-2 点的投影,二、点的三面投影,投影面,投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,三个投影面互相垂直,空间点A在三个投影面上的投影,2、投影面展开,V面不动，H面朝下旋转90， W面朝右旋转90。,向右翻,向下翻,不动,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,点的投影规律:, aaOX轴,

5、 aax= aaz=y=A到V面的距离,aax= aay=z=A到H面的距离,aay= aaz=x=A到W面的距离,aaOZ轴,三面投影及投影规律,长对正,高平齐,宽相等,P7 2-2 根据直观图作出A 的三面投影图,并量出A到各投影面的距离,三、点的投影与坐标的关系,x,y,z,A(x,y,z),A点表示为：,例1：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,通过作45线使aaz=aax,X,Z,O,课堂练习判断点的位置,A点在空间,B点在空间,C点在V面上,D点H面上,E点在X轴上,F点在Z轴上,课堂练习判断点的位置,五、两点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右

6、位置关系。,判断方法：, x 坐标大的在左, y 坐标大的在前, z 坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,Y,Y1,Z,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,B,o,b,a,a,a,b,b,无轴投影图,重点表达两点间的相对位置关系,六、重影点,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。,A、C为H面的重影点,不可见的投影加( ),概念：,( ),两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。, 2-3 直线的投影,一、直线的投影,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcos, 直线对一个投影面

7、的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,二、直线的投影特性, 直线对投影面的各种相对位置,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线, 投影面平行线,水平线,与H面的夹角: 与V面的角: 与W面的夹角: ,实长,3.各种位置直线的投影特性, 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。, 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。,侧平线,正平线,实长,实长,投影面

8、平行线投影特性：, 投影面垂直线,铅垂线,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,B,(b),b,b,反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。,正垂线,侧垂线, 另外两个投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影面垂直线的投影特性:, 一般位置直线,投影特性：,三个投影都缩短。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,侧垂线,正平线,倾斜线,侧平线,EF,根据投影，判断各直线为何种位置直线,正垂线,水平线,铅垂线,正平线,一般位置直线,侧平线,AB实长,直角三角形法,两直角边：在某投影面上的投影两端点距该投影面的距离差,斜 边：直线的实长,斜边与

9、投影的夹角：直线对该投影面的夹角,三、 直线段的实长和对投影面的倾角,1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|yA-yB|,|yA-yB|,例题1 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,ab,四、直线上的点, 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。,思考？若点的投影有一个不在直线的同名投影上，点在直线上吗？,投影特性：,AC/CB=ac/cb= ac / cb,若点在直线上，则点分 空间线段之比等于点的投影 分线段的同名投影之比 。即：,从属性,定比性,点C不在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,点C在直线AB上

10、,五、两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。, 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。, 两直线相交,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点满足点的投影规律。,交点是两直线的共有点,1(2 ),3(4 ), 两直线交叉,投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只

11、要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,AB与CD不平行。,例1：判断图中两条直线是否平行。,方法一：求出侧面投影,X,Z,O,方法二：,1、假设ABCD,则两直线组成 一平面，在平面上有AD、BC直 线，连线,2、AD、BC直线的投影不满足 平行条件，又不满足相交条件， 为交叉直线，则A、B、C、D四 点不共面,3、AB不平行于CD,平行,交叉,平行,交叉,相交,交叉,课堂练习 P12 2-16 判断图中各直线的相对位置,4、两直线垂直,若直角有一边平行于投影面

12、，则它在该投影面上的投影仍为直角 直角投影定律, BCAB, 同时BCBb BCABba平面,直线在H面上的投影互相垂直,即 abc为直角,因此 bcab, bc ABba平面,又 BCbc,例 BCAB且 BC/H面,a,b,c,a,b,c,例2：过C点作直线与AB垂直相交。,一、平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,2-4 平面的投影,用迹线表示平面,迹线：平面与投影面的交线。,二、平面的投影特性,实形性,类似性,积聚性, 平面对一个投影面的投影特性, 平面对投影面的各种相对位置,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行

13、面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,a,b,c,a,c,b,c,b,a,（1）投影面垂直面,类似性,类似性,积聚性,铅垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。,另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么？,X,Z,O, 投影面平行面,积聚性,积聚性,实形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影反映实形。,另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。,X,Z,O, 一般位置平面,三个投影都类似。,投影特性：,X,Z,O,1、平面上取点,先找过该点的面上的一条已知直线，然后再在该直线上确定点的位置。,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,三、平面上的点和直线,2、平面上的一般直线,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解。