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1、单摆运动规律的研究摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进行了探究。 首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进行推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。 然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。 最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为基础，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进行了探索。关键词 简谐运动 角度 阻尼运动 单摆运动 目录
2、1、 问题的描述2、 模型假设3、 模型建立及求解 1 理想模式下单摆的数学模型 1.1 小角度单摆运动模型 1.1.1 模型建立 1.1.2 模型求解 1.1.3 结果分析 1.2 大角度单摆运动模型 1.2.1 模型建立 1.2.2 模型求解 1.2.3 结果分析 2 现实模式下单摆的数学模型 2.1 小、大阻尼单摆运动模型 2.1.1 模型建立 2.1.2 模型求解 2.1.3 结果分析四 模型分析一 问题的描述 根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装
3、置就叫做单摆.我们从理想情况出发进行分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。二 模型假设1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；2.装置严格水平；3. 无驱动力。三 模型建立及求解1 理想模式下单摆的数学模型图1简单单摆模型在t时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即f(t) =mg sin(t) 完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：a(t)= gsinq(t)因此得到单摆的运动微分方程组：=1.1 小角度单摆运动模型q1.1.1模型建立 当摆角很小时,sin，故方程1可简化为: 1.1.2 模型求解 利用matlab软
4、件在0, 5o分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像 小角度单摆摆动规律 （方程（1）的解，*方程（2）的解）1.1.3 结果分析由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当q较小时（0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ft-fz产生，根据牛顿第二运动定律，有因此得到修正后的单摆运动微分方程组2.1.2 模型求解 据此编写仿真程序：subplot(2,1,1)dt=0.0001; %仿真步进T=16; %仿真时间长度t=0:dt:T;%仿真计算时间序列g=9.8;L=1.5;m=8;k=3;th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过/2v0=
5、0; %初始摆速设置v=zeros(size(t); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度th=zeros(size(t);v(1)=v0;th(1)=th0;for i=1:length(t) %仿真求解开始v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i)-k./m.*v(i).*dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;end %使用双坐标系统来作图 AX,B1,B2=plotyy(t,v(1:length(t),t,th(1:length(t),plot);set(B1,LineStyle,-); %设置图线型set(B2,LineStyle,:);set(ge
6、t(AX(1),Ylabel),String,线速度v(t)m/s);%作标注set(get(AX(2),Ylabel),String,角位移th(t)/rad);xlabel(时间t/s);legend(B1,线速度v(t),2);legend(B2,角位移th(t),1);增大阻力系数k=50可以得大阻尼时单摆的运动情况2.1.3 结果分析小阻尼情况下，单摆运动不再是谐振动，其振幅不断缩小直到趋于平衡位置而停止，但还是周期运动。大阻尼情况下是非周期运动，很快回到平衡位置。4. 模型分析 本文从理想情况出发，建立了小角度、大角度两种模型，得到简谐运动和类似简谐运动。再以此为基础讨论了实际情况下受到阻力因素的影响，近似的得到了单摆运动的运动规律的大小阻尼运动。9
