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1、3-3 二阶系统的时域分析,3-4 高阶系统的时域分析,线性系统的时域分析法,3-1 系统时间相应的性能指标,3-2 一阶系统的时域分析,第三章,3-5 线性系统的稳定性分析,3-6 线性系统的稳态误差计算,3-1 系统时间响应的性能指标,1.典型输入信号,2.动态过程与稳态过程,3.动态性能与稳态性能,典型输入信号,动态过程与稳态过程,在信号作用下，系统的运动变化可分为：,动态过程：系统在典型信号作用下，系统输出量从初始状态到最 终状态的变化过程。,动态过程也叫过渡过程或瞬态过程。,稳态过程：系统在典型信号作用下，系统输出量在时间趋于无穷 时的运动过程。,动态过程按系统的结构不同，可分为衰减
2、、发散或等幅振荡。,稳定系统：动态过程是衰减的系统。,不稳定系统：动态过程是发散的系统。,临界稳定系统：动态过程是等幅振荡的系统。,动态性能与稳态性能,动态性能：动态性能一般用系统的阶跃输入响应来定义。主要对 系统的快速性和“稳定性”方面进行描述。,误差带,延迟时间：,上升到稳态值的一半 所需时间。,上升时间：,从0.1上升到0.9倍稳态 值所需时间。,峰值时间：,上升到第一个峰值所需 时间。,调节时间：,响应曲线完全进入给定误差 带的时间。一般误差带 为 或 。,超调量：,性能指标说明,若系统没有延迟环节，则延迟时间、上升时间及峰值时间的变化 规律相同。,延迟环节会影响延迟时间，但不会影响上
3、升时间。,延迟时间、上升时间可反映系统的快速性（给了外加激励，系统 反映变化的快慢程度）和延迟。,延迟时间、上升时间短的系统，动态过程不见得短，因为系统阻 尼的问题，可能需要很长时间才能结束动态过程。描述动态过程 结束的快慢，用调节时间。调节时间是一个综合指标。,超调量是一个反映系统阻尼特性的指标。,稳态性能：稳态性能一般用稳态误差来表示，它是指系统稳态时 的输出与期望输出之间的差。,3-2 一阶系统的时域分析,1.一阶系统的数学模型,2.一阶系统的单位阶跃响应,3.一阶系统的单位脉冲响应,4.一阶系统的单位单位斜坡响应,5.一阶系统的单位加速度响应,一阶系统的数学模型,一阶系统的数学模型可表
4、示为,由于是线性系统，K不会影响系统响应的形状，不影响分析过程和 结论，下面都取K=1。,一阶系统可用来描述很多实际系统，如电枢控制的电机，单容水 槽，图3-2的RC网络。,一阶系统描述了速度控制这一类的系统。而实际系统（如质量 块），由于具有惯性，其调节过程主要是克服惯性，改变速度， 因而也将一阶系统称为惯性环节。,其中：T是时间常数，K是系统增益，是截止频率。,一阶系统的单位阶跃响应,由 在单位阶跃输入时，有,两边取拉氏反变换可得 。其响应曲线如图。,由系统响应表达式可知， 系统响应由T确定。,可求得系统性能指标。,延迟时间：,上升时间：,调节时间：,无超调量和峰值。,一阶系统的单位脉冲响
5、应,由 在单位脉冲输入时，有,两边取拉氏反变换可得 。其响应曲线如图。,由系统响应表达式可知， 系统响应由T确定。,可求得系统性能指标。,延迟时间：,上升时间：,调节时间：,无超调量和峰值。,由于1/s相当于积分一次，因而脉冲相应可通过阶跃响应求一阶导数得到。,一阶系统的单位斜坡响应,由 在单位斜坡输入时，有,两边取拉氏反变换可得 。其响应曲线如图。,由系统响应知，系统稳态 时，与期望的输出值间存 在误差T。,单位斜坡输入相应的一阶导 数是单位阶跃响应。因而 单位斜坡响应可对单位阶跃 响应积分一次得到。,一阶系统的单位加速度响应,由 在单位加速度输入时，有,两边取拉氏反变换可得 。,由系统响应
6、知，系统稳态时，与期望的输出值间存在误差。,在四种输入信号下的一阶系统响应,3-3 二阶系统的时域分析,1.二阶系统的数学模型,2.二阶系统的单位阶跃响应,3.欠阻尼二阶系统的动态过程分析,5.二阶系统的单位斜坡响应,4.过阻尼二阶系统的动态过程分析,7.非零初始条件下二阶系统的响应过程,6. 二阶系统性能的改善,二阶系统的数学模型,二阶系统的数学模型可表示为,标准形式（单位负反馈）的二阶系统结构图,二阶系统的特征方程：,其中：T是时间常数，是阻尼比（相对阻尼系数），n是自然频 率（无阻尼振荡频率）。,二阶系统的闭环极点（特征根）：,二阶系统的单位阶跃响应,由 在单位阶跃输入时，有,两边取拉氏
7、反变换可得 。,针对 和 ，取不同的值，分别讨论如下 。,欠阻尼情形,此时有,整理后可得 。,d是阻尼振荡频率,特殊情况： =0 时。,过阻尼情形,此时记,系统响应为,临界阻尼情形,系统响应可表示为,其中 ，代入即可得,2.0,1.0,0.8,0.7,0.6,0.5,0.2,0.1,0.0,0.4,0.3,当 时，可进一步近似表示为：,欠阻尼二阶系统的动态过程分析,欠阻尼二阶系统的极点是在左半复平面的 一对共轭复数，极点与系统参数间的关 系如右图。对应的阶跃响应为：,各项性能指标分析计算如下 。,可表示为：,延迟时间：,通过曲线拟合，可近似表示为：,显然有：,上升时间：,欠阻尼二阶系统的上升时
8、间定义与前述定义略有不同，由施加外加 激励开始至首次穿越稳态值（ ）的时间来表示。因此有,显然有：,峰值时间：,从系统的衰减特性知，系统的峰值点应是第一个极值点。 由 可得,即,超调量：,由 ，将峰值时间代入可得,调节时间：,调节时间是指系 统响应完全进 入给定误差带 的时间，如右 图。,误差带,调节时间ts,由系统响应，其 误差可表示为,调节时间可计算为,这种计算很麻烦，因而采用一种近似算法。对误差，有,若 ，则必有 。因此我们用 来近似 ，为简便也 把它记为 。因此在=0.05时，调节时间可计算为,考虑到实际系统一般都有0.8，因而有调节时间可计算为,按上述方法计算的调节时间若满足要求，则
9、 实际系统的调节时间必能满足要求！,例3-1：若要求图示系统具有性能指 标 ， ，试确定参 数K和，并计算单位阶跃响应 的特征量td，tr和ts。,解：由图求得系统传递函数。,由 得,由 得,及,阶跃响应特征量,过阻尼二阶系统的动态过程分析,过阻尼二阶系统的两个极点都在左半实轴上，系统单位阶跃响应为,其中 、,或,在过阻尼条件下，系统不产生振荡，所以无超调量和峰值时间指 标。另外，上升时间指标也按3.1的定义来描述。由于直接由 响应式计算各指标很麻烦，一般都采用曲线拟合法或制成图表查 找。,延迟时间：,上升时间：,延迟时间：（查图3.17）,例3-2：系统如图，T=0.1s，要求 系统无超调且
10、调节时间ts1s, 试确定参数K，并计算单位阶跃 响应的特征量td和tr。,解：由图求得系统传递函数。,要求系统无超调，则,由 及 得,由 得,阶跃响应特征量,取,二阶系统的单位斜坡响应,由 在单位阶跃输入时，有,欠阻尼情形,误差的变化为,二阶系统性能的改善,比例-微分控制（PD控制）,右图给出了一个单位反馈系统的阶 跃响应、误差响应及误差导数曲 线。由图中可看出：误差为零 时，误差变化最大；误差最大 时，误差变化为零。这种现象导 致了系统的超调。,结论：应该将误差变化用于控制。,比例-微分控制的传递函数,由闭环传递函数可知，比例-微分控制：,在不改变系统的自然振荡频率的条件下，增加了系统的阻
11、尼。,增加了系统的零点。,系统的阶跃响应为,拉氏反变换得,上升时间：,峰值时间：,超调量：,调节时间：,测速反馈控制,对单位反馈系统， ，输出的变化也反映了误差的变 化，特别是在定值控制的时候， 是一常数。因此用输出量的 微分进行反馈与用误差的微分进行控制，有相似的效果。这就是 测速反馈控制。,测速反馈控制的传递函数,由传递函数可知，测速反馈控制：,在不改变系统的自然振荡频率的条件下，增加了系统的阻尼。,改变了系统的开环增益，会影响系统的稳态误差。,系统无零点，其阶跃响应与单位反馈系统相同。,比例-微分控制与测速反馈控制的比较,不改变系统的自然振荡频率。,增加了系统的阻尼。,测速反馈改变了开环增益，会影响稳态（速度）误差。而比例-微 分控制保持开环增益不变。,比例-微分控制，存在微分环节，对干扰信号有放大作用，受干扰 影响增大。而测速反馈控制，直接测量输出的速度，无微分作 用，干扰影响不变。,非零初始条件下的二阶系统响应过程,传递函数分析是以零初始为前提的，若系统初始条件不为零，则要 从微分方程入手。设二阶系统微分方程为,非零初始条件的拉氏变换为,整理后可得,取拉氏反变换后可得,零初始响应； 零输入响应。,
