《八年级下数学中期知识梳理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级下数学中期知识梳理（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、知识梳理一、分式 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。使分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零。2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 3. 分式的通分和约分：关键是先分解因式4. 分式的运算法则：分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，。分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，。 分式的乘方法则：要把分子、分母分别乘方，。分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，异分
2、母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再把分子相加减，运算的结果，能约分的一定要约分，将结果化为最简形式 分式的混合运算：分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，也是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号内的但应注意纵观算式全貌，能否用变形、构造公式等方法进行简便计算5. 负整数指数幂和0指数幂的意义（1）任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，即；当n为正整数时，。把分式写成不含分母的形式，如ab1，注意：abm形式的式子属于分式，am与am互为倒数（2）指数由正整数扩大到全体整数 amanam+n（m，n是整数）；（am）namn（m，n是整数）；（ab）n
3、anbn（n是整数）特别需要指出的是：同底数幂的除法可转化为同底数幂的乘法来计算如：amanama-nam+（-n）am-n；分式的乘方运算可转化为积的乘方运算来计算，如：（）n（ab1）nanb（1）nanbn 6. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此解分式方程一定要验根。步骤：（1）能化简的先化简（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根。增根应满足两个条件：一是其值应使最简公
4、分母为0，二是其值应是去分母后所得的整式方程的根。分式方程验根方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。7. 列方程解应用题的步骤是：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答。应用题的类型及公式（1）行程问题：基本公式：路程=速度时间，而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 （2）数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法。 （3）工程问题：基本公式：工作量=工时工效。 （4）顺水、逆水问题：v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水8. 科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做
5、科学记数法。用科学记数法表示绝对值大于10的整数时，其中10的指数是整数的位数减1；用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数（包括小数点前面的一个0）二、反比例函数 1. 定义：形如y=（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）在y = 中，自变量x是分式的分母，当x时，分式无意义，所以x的取值范围是x 0的一切实数；(注：k 0；x 0；y 0)（3）解析式有三种常见的表达形式：y =（k 0）；xy = k（k0）；y=kx-1（k0）；（4）反比例函数一定存在反比例关系，但存在反比例关系的函
6、数不一定是反比例函数。2. 图象：反比例函数的图象属于双曲线。 3. 性质：当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。注意：y随x的变化（增减性）情况，只限在每一个象限内，当自变量x的两个取值不在同一个象限内时，不能运用反比例函数的性质解决问题。4. |k|的几何意义：表示反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积S=。从反比例函数的图象上任选一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积：S=。三、勾股定理 1. 勾股定理：如果
7、直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。a2= c2b2，b2= c2a22. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。3. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理的逆定理）典型例题知识点一：分式的定义和性质例1：（1）若分式的值为0，则x的值为 ( D )A. 1B. 1 C. 1D. 2（2）若方程=无解，则m=_1_。注：（1）考查分式值为零的常见题型，注意分子为零，分母不为零。（2）考查分式
8、方程的增根例2：若分式的值为零，求x的值。解：当时，分式的值为零。由（1）得： 由（2）得：当时，的值为零。例3：若分式的值为负，求x的取值范围。分析：欲使的值为负，即使，就要使与异号，而，若时，不能为负，因此，只有才成立。解：当时，分式的值为负由（1）得， 由（2）得 x的取值范围是例4： 如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ B ）A. 不变B. 扩大3倍C. 缩小3倍D. 缩小9倍分析：x，y都扩大3倍，即变为3x，3y，则因此，分式中的x和y都扩大3倍，那么分式值扩大3倍。知识点二：分式的计算例5：（1）化简 。（2）计算。（3）解方程。注：（1）注意分式计算与解分式方程的区别
9、（2）注意任一非零实数的零次方的意义解分式方程应注意验根。解：（1）原式（2）原式81411（3）方程两边同乘以得 解得 检验：时，是原分式方程的解。例6：计算：（1） （2）（3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 例7：完成下列各题：（1）人体内的某种细胞的形状可近似看作是球状，它的直径为0.000 001 56 m，则这个数用科学记数法表示是（ A ）A. 1.56106m B. 1.56105m C. 156105m D. 1.56106m（2）计算：（x4）2（x2）2x2x2（x0） （3）计算：（8105）2（2103）2解：（1）A（2）（x4）2（x2）2x2x2（
10、x0） （3）（8105）2（2103）2x8x2x2（1） 641010（4106）x8x4x2x2 （644）（1010106）x14x2 161010（6）1.6101041.6103例8：解方程。（1） （2）解：（1）变形为：去分母，得：列整式方程，得检验：将代入最简公分母，所以是原方程的增根。原方程无解。（2）去分母，得：整理，得：解得：检验：将代入最简公分母，所以是原方程的解。原方程的解为。例9：先化简再求值：，其中。解：原式 当时，原式注：本题无需求出x、y的值，只要把整体代入即可，解题时认真审题，灵活处理。例10：方程会产生增根，m的值是多少？解：将原方程去分母，两边都乘以最
11、简公分母，得：解整式方程得，由方程会产生增根，即当时，即，则当时，即，则 m的值为6或-4。知识点三：分式的应用例11：某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。解：设甲队单独完成这项工程要x天，工期也为x天，则乙队单独完成这项工程要（x+6
12、）天。根据题意，得方程两边同乘以得解这个方程得 检验：当时，是原分式方程的解。方案1：工程款为61.2=7.2万元方案2：会延误工期，故舍去方案3：工程款为31.2+60.5=6.6万元所以在不耽误工期的前提下，方案3最节省工程款。 注：设未知数、列方程是用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，理解问题情境，分析等量关系是设未知数、列方程的基础。可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系。分式方程要注意检验。例12：某人骑自行车比步行每小时快8公里，坐汽车比步行每小时快24公里，此人从甲地出发，先步行4公里，然后乘汽车10公里就到达乙地，他又骑自行车从乙地返回甲地，往返所用的
13、时间相等，求此人步行的速度。解：设此人步行速度为x公里/时，则骑自行车、乘汽车的速度分别是公里/时，公里/时，依题意列方程，得：即解方程，得：经检验：是原方程的解且符合题意。答：此人步行速度是6公里/时。例13：在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，由题意得方程组：， 解之得：x=40，y=60 （2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成 由（1）知，乙工程
