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1、数 学 物 理 方 程,主讲：王 正 斌,E_mail: BBS:科技教育/物理研究 答疑：周二下午3：305：00，教2605室,南京邮电大学 、 数理学院、应用物理系,第四章、特殊函数常微分方程,勒让德方程,贝塞尔方程,勒让德多项式,贝塞尔函数,在球坐标系解三类偏微分方程：,在柱坐标系解三类偏微分方程：,拉普拉斯方程的一般形式为,解：设分离变量形式的试探解,代入方程得到,一、勒让德方程的导出,式中第一个方程为欧勒型常微分方程,解得,第二个方程为球函数方程，对该方程继续做分离：,代入球函数方程得到,式中第一个方程由自然边界条件,构成本征值和本征函数,第二个方程可以改写为,令,如果球坐标的极
2、轴为对称轴,阶勒让德方程,在柱坐标系下解 拉普拉斯方程：,分离变量得,二、贝塞尔方程的导出,n阶贝塞尔方程,n阶虚宗量贝塞尔方程,三、亥姆霍兹方程,(a)、三维波动方程为:,设分离变量解为:,代入方程，并移项得到：,得,Helmholtz Equation,（b)、三维输运方程为：,分离时间变量和空间变量，得：,代入方程，并移项得到 ：,得,Helmholtz Equation,在球坐标系下解亥姆霍兹方程：,亥姆霍兹方程：,在球坐标系下的形式为：,分离变量，得：,展开得,阶贝塞尔方程,在柱坐标系下解亥姆霍兹方程：,利用柱坐标系的Laplace方程的表达式可得柱坐标系Helmholtz方程的表达
3、式:,分离变量，得：,代入原方程得：,对自变量做变换 ，那么上式变成,该式即为n阶Bessel方程。,幂级数展开,敛散性：,幂级数展开,泰勒(Taylor)级数展开,解析：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z) 在z0点解析。,几个基本初等函数的泰勒展开式：,解析函数：若函数f(z)在区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域B上的解析函数。,洛朗(Laurent)级数展开,洛朗(Laurent)级数展开方法：将待展开式分解为奇异项和非奇异项，然后将 非奇异项展开为Taylor级数，再和非奇异项合并,特殊函数方程的级数解法,熟悉的特殊函数：在球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动
4、方程、输 运方程进行分离变量，得到连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、 球贝塞尔方程等特殊函数；,未知的特殊函数：在其它坐标系对其它数学物理偏微分方程进行分离，还会 出现其它各种各样的特殊函数方程。,常微分形式：线性二阶常微分方程,方程的常点：常微分方程中系数 和 在选定的点 的邻域中是解析的， 则 点 称为方程的常点。,一、常点邻域上的级数解,该解可以表示为此邻域上的泰勒级数的形式:,求解步骤：把展开级数代入方程，合并同幂项，令合并后的各 系数分别为零,找到系数之间的递推关系，最后用已给的初值来 确定各个系数。,方程的奇点：常微分方程中系数 和 在选定的点 的邻域中是 或 的奇点，则 点
5、 称为方程的奇点。,泰勒级数形式及其导数为,化简之后得到,(1) 勒让德方程在 的级数解,要使各幂次合并后的系数分别为零，则得到系数的递推公式为,其中 为偶次幂，是偶函数， 为奇次幂，是奇函数。,(2) 解的收敛半径,由系数的递推公式可以得到,因此级数 和 收敛于 ，而发散于 。,由于 阶勒让德方程中 ,所以其解是收敛的。,(3) 解在 的收敛性,根据高斯判别法可以证明，级数解 和 在 是发散的。,（4）解退化为多项式,若 ，而从 项起所有系数含有 项均为零,若再取 ，那么,解为只含偶次幂的 l 阶多项式,选取适当的 得到一个特解，称为 l 阶勒让德多项式,若 ，而从 项起所有系数含有 项均为
6、零,若再取 ，那么,解为只含奇次幂的 l 阶多项式,选取适当的 得到一个特解，称为 l 阶勒让德多项式,(5) 自然边界条件,定解问题的解在空间都是有限的，而经过分离变量法得到的 勒让德方程在 也必须为有限的成为勒让德方程的自然 边界条件。因此，勒让德方程与自然边界条件构成本征值问 题，其本征值是l(l+1)(l为零或正整数)，所以本征函数为l阶勒 让德多项式。,二、奇点邻域上的级数解,（1）n 阶贝塞尔方程在 的邻域上的解,代入Bessel 方程，合并同类项得：,比较等式两边系数，可得一系列方程：,第二个方程,因此贝塞尔方程的一个特解为:,该级数的收敛半径为:,通常取：,因此只要 有限，级数
7、就是收敛的。,此时把这个解称为n阶第一类贝塞尔函数，记为：,因此贝塞尔方程的另一个特解为:,该级数的收敛半径为:,因此只要 有限，级数就是收敛的。通常取,此时把这个解称为-n 阶第一类贝塞尔函数，记为：,因此，n阶贝塞尔方程的通解就是两个特解的线性叠加 ：,可证明，当n为整数时， 与 线性相关，而当n不为整数 时，他们线性无关。,证明:当n为整数时， 与 线性相关,当 n 为整数时，第二个特解实际上是和第一个特解线性相关的,不能表示为n阶Bessel方程的解,若取 ：,代入通解中可以得到另外一个特解 ，该特解可以作为n阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数:,因此
8、n阶贝塞尔方程的通解还可以写成 ：,不论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都可以用上式表示！,当n为整数时，还需要另外一个线性无关的特解 ！,解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得,同理，可求得另外一个特解：,因此方程的通解为,根据Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Bessel函数。,n为偶数时， 为偶函数,n为奇数时， 为奇函数,第三类贝塞尔函数：汉克尔（Hankel）函数,Bessel函数的奇偶性,三类柱函数,贝塞尔函数,诺伊曼函数,所以对应于贝塞尔方程的通解为,或,还可以把贝塞尔方程通解表示为:,5.2、贝塞尔函数递推公式,不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系,令,同理可以得到:,NOTE,若将上面两式左端的导数求出，可得：,第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）的递推公式：,Hankel Function also comply with the rule,Thanks for your attention!,
