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1、第五章,频域分析法频率法,基本要求,1. 正确理解频率特性的概念。 2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。 3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。 4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。,5. 熟练掌握Nyquist稳定判据和对数频率稳定判据。 6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。 7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。 8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。,频率
2、特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。,与时域分析法和根轨迹法不同； 频域性能指标与时域性能指标之间有内在联系； 频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的方法测出稳定系统或元件的频率特性； 频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应；,频率法的五个特点,51 频率特性,一、基本概念,输入信号：,其拉氏变换式：,控制系统在正弦信号作用下的稳态输出,频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应。,输出：,拉氏反变换得：,其中：,同理：,将B、D代入c(t)，则:,式中：,结论：线性定常系统在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。,二
3、、频率特性的定义及求取方法,线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。,频率特性表达式为：,例子 以RC网络为例,其传递函数,正弦稳态输出,对于任何线性系统都可以采用这种方法分析。,幅频特性：,相频特性：,取：,显然，G(jw)能够完整描述网络在正弦信号作用下稳态输出的幅值和相角与输入信号频率之间的规律。 G(jw)即为系统的频率特性。,RC网络,其传递函数,频率特性,该结论适用任何线性系统！,三、频率特性的几种表示方法,1、幅频特性、相频特性、幅相特性,RC 网络的幅频特性和相频特性,RC网络的幅相特性曲线,2、对数频
4、率特性,对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。,对数幅频特性：,对数相频特性:,对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分度，纵坐标采用线性分度用角度表示。,对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取10为底的对数 ，纵坐标采用线性分度用分贝数(dB)表示。,对数坐标刻度图,注意：,纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， 是不均匀的。 这种坐标系称为半对数坐标系。 在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程 的长度都是相等的。 为了说明对数幅频
5、特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。,以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐标为幅值，单位采用分贝。,对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）,幅值的乘除简化为加减； 可以用叠加方法绘制Bode图； 可以用简便方法近似绘制Bode图； 扩大研究问题的范围； 便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。,Bode图的优点,对数坐标系,52 典型环节的频率特性,一、比例环节（放大环节）,比例环节的频率特性曲线,二、积分环节,积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线,对数频率特性,三、微分环节,微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线,四、惯性环节
6、（一阶系统）,传递函数,幅相特性,惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线,对数频率特性,当,当,惯性环节的对数频率特性曲线,图示：当T=0.5（s）时，系统的极坐标图、伯德图,对数幅频特性的渐近线的近似方法：,在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。,在图中 T=0.5, 1/T=2 (rad/sec),当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。,惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线相交，交点处频率 ，称为转折频率。 两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为对数幅频特性渐近线。 用渐近线代替对数幅频特性曲线
7、，最大误差发生在转折频率处，即 处。,惯性环节的误差曲线,误差的最大值发生在角频率为1/T处，这时误差最大值为-3dB 。,用渐近线近似产生的误差曲线,五、一阶微分环节,六、振荡环节（二阶系统）,传递函数,频率 特性,令无因次频率 为参变量,若,振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）,振荡环节的幅频、相频特性曲线,幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：,幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：,谐振频率,谐振峰值,振荡环节的对数频率特性,低频渐近线是零分贝线。,高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分贝线相交于 ，振荡环节的交接频率为 。,特征点 ：,振荡环节的伯德图,渐近线对数幅频特性引起的误差：,振荡
8、环节的幅相特性,振荡环节的对数幅频渐进特性,七、二阶微分环节,二阶微分环节的对数频率特性,八、一阶不稳定环节,非最小相位环节,定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。 一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。,九、延迟环节,延迟环节输入输出关系为,53 系统的开环频率特性,设系统开环传递函数由若干典型环节串联,开环频率特性,一、开环幅相特性曲线,系统开环幅频与相频分别为,1、开环幅相特性曲线,（1）当,系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节。,系统开环幅相特性曲线,（2）当,取
9、m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线,系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸。,（3）当,含有积分环节时的开环幅相特性曲线,开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。,2.系统开环幅相的特点,当频率 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。 当频率 时，若nm，G(j)|=0相角为(m-n)/2。 若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(j)曲线随 变化时发生弯曲。 G(j) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。,系统开环传函的频率特性称为开环频率特性。,控制系统一般总是由若干环节组成的, 设其开环 传递函数为 ：,G(s)=G1(s)G2(s)
10、Gn(s),系统的开环频率特性为：,二、开环对数频率特性曲线的绘制,或,得,则系统的开环对数频率特性为,其中, Li()=20lgAi(), (i=1, 2, , n)。,系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。,系统开环对数幅频与对数相频表达式为:,例 5-1 绘制开环传递函数为,的零型系统的伯德图。,解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为,例 5-1 的伯德图,实际上, 在熟悉了对数幅频特性的性质后, 不必先一一画出各环节的特性, 然后相加, 而可以采用更简便的方法。 由上例可见, 零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线, 随着的增加, 每遇到一个
11、交接频率, 对数幅频特性就改变一次斜率。,例 5-2 设型系统的开环传递函数为,试绘制系统的伯德图。,系统的伯德图如图所示。,解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为,例 5-2的伯德图,此系统对数幅频特性的低频段斜率为20 dB/dec, 它在=1 处与L1()=20 lgK的水平线相交。 在交接频率=1/T处, 幅频特性的斜率由20 dB/dec 变为40 dB/dec。,通过以上分析, 可以看出系统开环对数幅频特性有如下特点:,低频段的斜率为20dB/dec,为开环系统中所包含的积分环节的数目。 低频段在1处的对数幅值为20lgK。 在典型环节的交接频率处, 对数幅频特性渐近线的斜率要发
12、生变化, 变化的情况取决于典型环节的类型。,遇到G(s)(1+Ts)-1的环节, 交接频率处斜率改变-20dB/dec; 遇到G(s)(1+Ts)的环节, 交接频率处斜率改变+20dB/dec; 遇到二阶振荡环节 ,交接频率处斜率改变40dB/dec。,综上所述, 可以将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下:, (1) 将开环传函分解, 写成典型环节相乘的形式; (2) 求出各典型环节的交接频率, 将其从小到大排列为1, 2, 3, 并标注在轴上; (3) 绘制低频渐近线(1左边的部分), 这是一条斜率为-20dB/dec(为开环系统中所包含的积分环节的数目)的直线, 它或它的延长线应通过(1, 2
13、0lgK)点; (4) 随着的增加, 每遇到一个典型环节的交接频率, 就改变一次斜率; 对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得, 也可以利用相频特性函数() 直接计算。,例5-3 系统开环传递函数,试绘制开环对数频率特性。,解: 系统开环频率特性为,系统由5个典型环节串联组成：,比例环节,积分环节,对数幅频特性渐近线在 时穿越0dB线，其斜率为-20dB/dec。,转折频率 ，对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为0dB线，转折频率后为一条斜率为-20dB/dec的直线。 对称于点 。,惯性环节,惯性环节,转折频率 ，对数幅频特性渐近线类似于 ，相频特性类似于 。,一阶微分环节,转折频
14、率 ，对数幅频特性渐近线在 之前为0分贝线，在 之后为一条斜率为20dB/dec的直线。,相频特性 在转折频率处为45，低频段为0，高频段为90，且曲线对称于点 。 将以上个环节的对数幅频特性渐近线和相频特性曲线绘制出，在同一频率下相加即得到系统的开环对数幅频特性渐近线及相频特性，如图所示。,Bode图,例54 系统开环传递函数,绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。,解：,开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。,例55,五个基本环节,绘制开环系统的波特图,将写成典型环节之积； 找出各环节的转角频
15、率； 画出各环节的渐近线； 在转角频率处修正渐近线得各环节曲线； 将各环节曲线相加即得波特图。,一般规则：,三、最小相位系统,若系统传递函数的极点和零点都位于s平面的左半部, 这种传递函数称为最小相位传递函数; 否则, 称为非最小相位传递函数。,对于幅频特性相同的系统, 最小相位系统的相位迟后是最小的, 而非最小相位系统的相位迟后必大于前者。,例如有一最小相位系统, 其频率特性为：,另有一非最小相位系统, 其频率特性如下:,(T2T10),这两个系统的对数幅频特性完全相同,相频特性不同： 前一系统的相角 角度变化范围 0负角度值 0； 后一系统的相角 角度变化范围 0 -180。,它们的Bode图如图3-22所示。,对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数, 反之亦然。但是，对于非最小相位系统，就不存在上述的这种关系。,由最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数的步骤：,（1）由低频段确定系统传函的型别：-20dB/dec(为传函中包含的积分环节数),（2）确定传函增益K 0型：20lgK=L1 型：低频段或其延长线交频率轴于 点0，K= 0 型：低频段或其延长线交频率轴于 点0，K= 02,（3）串联环节的确定： 交接频率1处
