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1、平面向量 小结与复习,平 面 向 量 复 习,表示,运算,实数与向量 的积,向量加法与减法,向量的数量积,平行四边形法则,向量平行、垂直的条件,平面向量的基本定理,三 角 形 法 则,向量的三种表示,向量的相关概念,向量定义：,既有大小又有方向的量叫向量。,重要概念：,（1）零向量：,长度为0的向量，记作0.,（2）单位向量：,长度为1个单位长度的向量.,（3）平行向量：,也叫共线向量，方向相同或相反 的非零向量.,（4）相等向量：,长度相等且方向相同的向量.,（5）相反向量：,长度相等且方向相反的向量.,几何表示,: 有向线段,向量的表示,字母表示,坐标表示,: (x，y),若 A(x1,y
2、1), B(x2,y2),则 AB =,(x2 x1 , y2 y1),向量的模（长度）,1. 设 a = ( x , y ),则,2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则,平 面 向 量 复 习,1.向量的加法运算,A,B,C,AB+BC=,三角形法则,O,A,B,C,OA+OB=,平行四边形法则,坐标运算:,则a + b =,重要结论：AB+BC+CA=,0,设 a = (x1, y1), b = (x2, y2),( x1 + x2 , y1 + y2 ),AC,OC,平 面 向 量 复 习,2.向量的减法运算,1）减法法则：,O,A,B
3、,OAOB =,2）坐标运算:,若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ),则a b=,3.加法减法运算率,a+b=b+a,（a+b)+c=a+(b+c),1）交换律：,2）结合律：,BA,(x1 x2 , y1 y2),平 面 向 量 复 习,实数与向量 a 的积,定义：,坐标运算：,其实质就是向量的伸长或缩短！,a是一个,向量.,它的长度 |a| =,| |a|；,它的方向,(1) 当0时,a 的方向,与a方向相同；,(2) 当0时,a 的方向,与a方向相反.,若a = (x , y), 则a =, (x , y),= ( x , y),数量积,1、数量积的定义：,数量积的坐
4、标公式：,其中：,其中：,注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.,2、数量积的几何意义：,3、数量积的物理意义：,4、数量积的主要性质及其坐标表示：,内积为零是判定两向量垂直的充要条件,用于计算向量的模,用于计算向量的夹角,这就是平面内两点间的距离公式,5、数量积的运算律：,交换律：,对数乘的结合律：,分配律：,注意：,数量积不满足结合律,重要定理、公式,如果 和 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数1、2，使,应用1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=BC A,B,C三点共线,1.平行向量基本定理,2.平面向量基本定理,重要定理、公式,
5、4.两个非零向量垂直的充要条件,向量表示,坐标表示,向量表示,坐标表示,3.两个向量平行的充要条件,规定：对任意 向量,常见问题,向量具有大小和方向两个要素。 共线向量与平面向量的两条基本定理。 向量的数量积是一个数。 根据向量的数量积，计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角等。 数量积不满足结合率。,基础训练题,A. 4个 B.3个 C. 2个 D.1个,A-1 B.0 C.1 D.2,能力训练,例3. 已知向量a, b 不共线 (1)若AB = a b, BC=2 a 8 b, CD= 3(a + b),求证A、B、D共线; (2)若 ka b 与 a kb 共线, 求实数 k 的值。,例4.平面内给定三个向量 回答下列问题:,例4 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则点P轨迹 一定通过 的（ ）,A、外心 B、 内心 C、重心 D、垂心,变式：已知点O,N,P在 所在的平面内,且 则点O,N,P依次是 的 （ ）,A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心 、垂心 D.外心、重心、内心,
