《（江苏专用）2018年高考数学一轮复习 第四章 解三角形课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2018年高考数学一轮复习 第四章 解三角形课件（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考数学 (江苏省专用),第四章 解三角形,1.(2014江苏,14,5分,0.29)若ABC的内角满足sin A+ sin B=2sin C,则cos C的最小值是 .,A组 自主命题江苏卷题组,五年高考,答案,解析 设ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. sin A+ sin B=2sin C, 由正弦定理得a+ b=2c, cos C= = = = = , 当且仅当 a= b时等号成立, 故cos C的最小值为 .,2.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均 为32 cm,容器的底面对角线AC的长为10 cm,容器的两底面
2、对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm. (容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度; (2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.,解析 本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间 想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC. 记玻
3、璃棒的另一端落在CC1上点M处. 因为AC=10 ,AM=40, 所以MC= =30,从而sinMAC= . 记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足, 则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1= =16. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm),(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG. 同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1. 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处. 过G作GKE1G1
4、,K为垂足,则GK=OO1=32. 因为EG=14,E1G1=62,所以KG1= =24,从而GG1= = =40.,设EGG1=,ENG=, 则sin =sin =cosKGG1= . 因为 ,所以cos =- . 在ENG中,由正弦定理可得 = ,解得sin = . 因为0 ,所以cos = . 于是sinNEG=sin(-)=sin(+) =sin cos +cos sin = + = . 记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2= =20. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm. (如果将“没入水中部分”理解
5、为“水面以上部分”,则结果为20 cm),3.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B= ,C= . (1)求AB的长; (2)求cos 的值.,解析 (1)因为cos B= ,0B,所以sin B= = = . 由正弦定理得AB= = =5 . (2)解法一:在ABC中,A+B+C=, 所以A=-(B+C), 于是cos A=-cos(B+C)=-cos =-cos Bcos +sin Bsin , 又cos B= ,sin B= ,故cos A=- + =- .,因为0A,所以sin A= = . 因此,cos =cos Acos +sin Asin =- + = .
6、 解法二:因为cos C=cos = = = , 所以BC2-6 BC-14=0,解得BC=7 或- (舍去),所以cos A= =- ,又A(0,),所以sin A= = ,于是cos = cos A+ sin A= .,4.(2013江苏,18,16分,0.430)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘 缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为13
7、0 m/min,山 路AC长为1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . (1)求索道AB的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?,解析 (1)在ABC中,因为cos A= ,cos C= , 所以sin A= ,sin C= . 从而sin B=sin-(A+C) =sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C = + = . 由 = ,得 AB= sin C= =1 040(m). 所以索道AB的长为1 040 m. (2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客
8、距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以 由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37t2-70t+50),因0t ,即0t8, 故当t= min时,甲、乙两游客距离最短. (3)由 = ,得BC= sin A= =500(m). 乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3 - 3, 解得 v ,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控 制在 (单位:m/min)范围内.,评析 本题考查
9、正、余弦定理,二次函数的最值以及两角和的正弦等基础知识和基本技能,考查 学生阅读能力和分析、解决实际问题的能力.,考点一 正、余弦弦定理 1.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A, 则B= .,B组 统一命题省(区、市)卷题组,答案 60,解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin (180-B),可得B=60. 解法二:由余弦定理得2b =a +c ,即b =b,所以a2+c2-b2= ac,所以c
10、os B= ,又0B180,所以B=60.,思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.,2.(2017课标全国文改编,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C- cos C)=0,a=2,c= ,则C= .,答案,解析 本题考查正弦定理和两角和的正弦公式. 在ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, 即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, cos Asin C+s
11、in Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A= . 由 = 得 = ,sin C= , 又0C ,C= .,方法总结 解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定 理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sin B=sin(A+C)的应用.,3.(2017山东理改编,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满 足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 . a=2b;b=2a;A=2B;B=2A.,答案 ,解析 本题
12、考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理. 解法一:因为sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C), 所以sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin B, 即cos C(2sin B-sin A)=0, 所以cos C=0或2sin B=sin A, 即C=90或2b=a, 又ABC为锐角三角形,所以0C90,故2b=a.,解法二:由正弦定理和余弦定理得 b =2a +c , 所以2b2 =a2+3b2-c2, 即 (a2+b2-c2)=a2+b2-c2, 即
13、(a2+b2-c2) =0,所以a2+b2=c2或2b=a, 又ABC为锐角三角形,所以a2+b2c2,故2b=a.,方法总结 解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求 解.注意灵活运用三角公式.,4.(2017浙江,14,5分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是 ,cosBDC= .,答案 ;,解析 本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能 力. AB=AC=4,BC=2,cosABC= = , ABC为三角形的内角,sinABC= , sinCBD= ,
14、故SCBD= 22 = . BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC= , 2cos2BDC-1= ,得cos2BDC= , 又BDC为锐角,cosBDC= .,5.(2016课标全国改编,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A= ,则 b= .,答案 3,解析 由余弦定理得5=22+b2-22bcos A,cos A= ,3b2-8b-3=0,b=3 .,评析 本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.,6.(2014课标,16,5分,0.465)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A
15、-sinB)= (c-b)sin C,则ABC面积的最大值为 .,答案,解析 因为a=2,所以(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C可化为(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,由正弦定 理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A= = = ,又0A,故A = ,又cos A= = ,所以bc4,当且仅当b=c时取等号,由三角形面积公式知SABC = bcsin A= bc = bc ,故ABC面积的最大值为 .,评析 本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式的应用,考查考生对知 识的综合应用能力以及运算求解能力.,7.(2016山东改编,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A= .,答案,解析 在ABC中,由b=c,得cos A= = ,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A,即tan A=1,又知A(0,),所以A= .,评析 恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.,8.(2016北京,13,5分)在ABC中,A= ,a= c,则 = .,答案 1,解析 在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, 将A=
