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1、第二十二章 二次函数 二次函数 的 图象和性质,北京市中关村中学 杨爱青,九年级上册,温故知新,1.研究一次函数的顺序：,概念 图象和性质 应用性质,从特殊到一般,2.如何研究二次函数的性质呢？,或,新知探究,(1)x的取值范围：,全体实数；,(2)y的取值范围：,(3)x取一对相反数时，函数值相等（对称性）；,(4)x=0时，y有最小值， y的最小值为0；,(5)当x0时，y随着x的增大而增大； 当x0时，y 随着x的增大而减小；,(6)图象位于第一、二象限和原点；,(7)图象第一象限部分是直线还是曲线？,从解析式研究图象和性质,新知探究,取特殊点 时 ， ， y的增长速度先慢后快.,第一象
2、限部分,x,示意图猜想,1.图象关于y轴对称； 2.图象有最低点（0,0）； 3.在y轴左侧，y随着x的增大而减小； 在y轴右侧，y随着x的增大而增大.,的性质,新知探究,描点法画 y=x2 的图象,（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：,y,从表格分析图象和性质,图象关于y轴对称； 图象有最低点（0,0）； 在y轴左侧，y随着x的增大而减小； 在y轴右侧，y随着x的增大而增大.,新知探究,（2）描点,x,o,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,10,8,6,4,2,-2,1,y=x2,（3）用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y= x2 的图象.,你能从图象 分析性质吗？,新知探
3、究,抛物线： 二次函数的图象都是抛物线 一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 ,二次函数y= x2 的图象形状类似于投篮或掷铅球时球 在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条 曲线叫抛物线y= x2 .,新知探究,对称轴、顶点、最低点、最高点,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,这条抛物线关于 y轴对称，y轴 是它的对称轴.,新知探究,抛物线 y=x2在x轴上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小，最小值是0.,在对称轴左侧（或x 0时) ，y随着x的增大而增大.,合作交流,在同一坐标系中,画出下列函数的图象: 并比较它们的相同
4、点与不同点.,归纳性质,1.开口方向： 当a0时,开口向上； 当a0时,开口向下. |a|越大，开口越小.,2.对称轴是直线x=0 (y轴), 3. 顶点是原点(0，0).,归纳:,抛物线y=ax2的图象和性质,归纳性质,4.最值： 当a0时，函数有最小值， 且当x0时，ymin0； 当a0时，函数有最大值， 且当x0时，ymax0.,5.增减性：,应用性质,例1 (1)抛物线 y=8x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧, y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当 x= 时,函数 y的值最 ,最 值是 ,抛物线y=8x2在x轴 的 方(除顶点外).,（0，0）,y轴,y轴右,y
5、轴左,0,0,上,小,小,应用性质,(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 , 当x=0时,函数y的值最 ,最 值是 ; 当x 0时,y0.,下,增大而增大,增大而减小,0,大,大,应用性质,例2 已知二次函数 （1）当m取何值时，它的图象开口向下； （2）当x0时，y随x的增大而增大，求函数关系式.,解：（1）由题意得，,解得，,（2）由题意得，,解得，,巩固练习,教科书32页练习，增加一问： 分别说出函数的增减性.,反思提升,1.从函数解析式、表格、图象研究函数图象和性质的几个方面： 自变量取值范围，函数值取值范围，对称性， 最值，增减性等. 2.二次函数y =ax2的图象和性质. 3.数形结合图象和性质密不可分. 由图象想性质、由性质想图象.,
