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1、吉林大学远程教育课件,主讲人: 杨凤杰,学 时：64,(第二十八讲),离散数学,定理6.3.4 设M的元数为n,若n1， 则奇置换的个数和偶置换的个数相 等，因而都等于n!/2 。 证明：命1,2,m （5） 为M的所有偶置换,由于n1,故我们 可以取一个对换，而作下列乘积： 1，2，m （6） 显然i是奇置换,而且诸i互不相同,即(6)中无重复元素。事实上,当ij时ij,故倘若i=j,则以-1左乘得i=j将导出矛盾,这说明M的奇置换不少于偶置换.反之,若为M的任意奇置换,则-1为偶置换,故必等于某一个i,-1=i，因而=i,这说明M的任意奇置换必在(6)中, (6)就是M的所有奇置换,M的奇
2、置换不多于偶置换.于是奇置换的个数和偶置换的个数相等,各占置换总数n!的一半,这就证明了定理6.3.4。,6.4 子 群 及 其 陪 集 6.4.1 子 群 的 定 义 定义6.4.1 设(G，)是一个群， H是G的一个子集，如果按照G中 的乘法运算，H仍是一个群，则 （H，）叫做（G，）的子群。 如果G的一个子群H不等于G，即HG， 则（H，）叫做（G，）的真子群。 例6.4.1所有整数按照加法作成一个群。对于任意整数m，m的所有倍数在加法下作成整数加法群的一个子群。 例6.4.2 复数加群以实数加群、有理数加群以及整数加群为其真子群。,例6.4.3 所有非零复数作成的乘法 群以所有非零实数
3、作成的乘法群、 所有非零有理数作成的乘法群为其 真子群。 例6.4.4 行列式等于1的所有n阶 矩阵作成所有n阶非奇异矩阵的乘 法群的一个子群。 例6.4.5 n次交代群是n次对称群的 一个真子群。 例6.4.6 任一群G都有两个明显的子群，一个是由其单位元素组成的子群1，称为G的单位子群；还有一个就是G本身。这两个子群称为G的平凡子群，其余的子群（如果有的话）称为非平凡子群。 注意：G的子群H不只是一个包含在G中的群,而且H的运算必须与G的运算一样,比如m,非零实数作成的乘法群不是所有实数作成的加法群的子群。,6.4.2 子群的判别条件 定理6.4.1 （判别条件一） 群G的一个子集H是G的
4、一个子群 的充分必要条件是： (1) 若aH，bH，则abH； (2) 若aH，则a-1H； (3) H非空。 证明： 必要性。 设H是G的子群，于是按照G中的乘法，H是一个群,由群的定义，H中的两个元素a，b应该可以按照G中的乘法在H内相乘,故abH,即(1)成立。由群的定义要求，（3）也必然成立。,现要证（2），先证G中的单位元 就是H中的单位元，设1是G中的 单位元，1是H中的单位元。 取任意aH，则1a=a，此式在 H中成立，故在G中也成立。以a-1 右乘得1（aa-1 ）= aa-1即1=1， 故G中的单位元就是H的单位元，由群的定义，对于H中的a，应有bH使ab=1，此式在G中亦成
5、立，以a-1左乘得b=a-1，因而a-1H，即（2）成立。,充分性 今设(1),(2),(3)成立，由 (3)H非空。由(1),H中的两个元素a， b可以在H内相乘。设a,b,c是H的任意 三个元素,在G中有(ab)c = a(bc)， 此式在H中自然也对,即结合律成立。 今证H中有单位元。取任意aH,由(2) a-1H,由(1),aa-1H,即1H；1在 G中适合1a=a,故在H中亦有此性质。最后,H中任意a有逆，因由（2），a-1H，但是G中，a-1a=1，此式在H中亦应成立，故a-1即a在H中之逆，群的条件已经全部适合，故按照G中的乘法，H是一个群，它是G的一个子群。 由该定理的证明可推
6、出子群H与大群G的关系：H的单位元素就是G的单位元素，H中任一元素a在H中的逆元素也就是a在G中的逆元素。,定理6.4.2（判别条件二） 定理6.4.1中的两个条件(1), (2)可以换成下面一个条件 (*)若aH,bH,则ab-1H。 证明：设(1),(2)成立，往证(*)成立。设aH,bH,由(2),b-1H,故由(1), ab-1H，因而（*）成立。 设（*）成立，往证（1），（2）成立。设aH，由（*）可推得,aH ,aH，故aa-1H,即1H。又由（*）可推得，1H，aH，故1a-1H，即a-1H，因而（2）成立。设aH，bH，因为（2）已证，故b-1H。再由（*）推知，aH，b-1
7、H，故a（b-1）-1H，即 abH，故（1）成立。,定理6.4.3 （判别条件三） 群G的一个有限非空子集H是G 的一个子群的充分必要条件是 H对G的运算是封闭的，即若aH， bH，则abH。 该定理的证明作为习题留给读者。 如果G是有限群，那么G的子集都是有限集，因此总可以应用判别条件三来判断G的非空子集是否是一个子群。,6.4.3 循 环 群 定理6.4.4 设a是群G的一个元 素。于是a的所有幂的集合 an，n=0，1，2， 做成G的一个子群，记为（a）。 此群称为由a生成的子群。 证明：(1)(a)非空，例如a0=1（a）。 (2)任取（a）中二元素am，an， 有am（an）-1=
8、ama-n=am-n（a）。故由定理6.4.2，（a）做成G的一个子群。 定义6.4.2 群G叫做一个循环群，或巡回群，如果G可以由它的某元素a生成，即有aG使G=（a）。于是定理6.4.4中的子群（a）可称为由a生成的循环子群。,例6.4.7 整数加法群（Z，+） 是由1生成的循环群。（nZ，+） 是由n生成的循环群。 兹试看群G的一个元素a所生成 的循环群（a）： ,a-2,a-1,a0,a,a2, 其中a0=1 (1) 有两种情形： 情形10 如果（1）中所有元素都彼此不同，则称a的周期为无穷大或0。此时，对任意两个不同的整数s与t，asat。 情形20 如果（1）中出现重复的元素，即有整数 st使as=at。不妨设st，于是s-t0而as-t=1,即有正整数m使am=1。若n为适合an=1的最小正整数，则称a的周期为n。,
