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1、第五讲 非线性规划的基本概念,非线性规划问题 非线性规划数学模型 非线性规划的图解法 梯度、Hesse矩阵、Jacobi阵 凸函数和凸规划 解非线性规划方法概述 一维最优化,在科学管理和其他领域中，大量应用问题可以归结为线性规划问题，但是，也有另外许多问题，其目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表达。如果目标函数和（或）约束条件中包含有自变量的非线性函数，则这样的规划问题就属于非线性规划。 非线性规划是运筹学的重要分支之一。最近30多年来发展很快，不断提出各种算法，而其应用范围也越来越广泛。比如在各种预报、管理科学、最优设计、质量控制、系统控制等领域得到广泛且不短深入的应用。 一般来说，求解
2、非线性规划问题比线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划那样有单纯形法这一通用的方法。非线性规划的各种算法大都有自己特定的使用范围，都有一定的局限性。到目前为止还没有适合于各种问题的一般算法，这是需要深入研究的一个领域。我们只是对一些模型及应用作简单介绍。,非线性规划问题举例 例一：选址问题 设有 个市场，第 个市场位置为 ，它对某种货物的需要 量为 。现计划建立 个仓库，第 个仓库的存储 容量为 试确定仓库的位置，使各仓库对各市场的 运输量与路程乘积之和为最小。 设第 个仓库的位置为 第 个仓库到第 个市场的货物供应量为 则第 个 仓库到第 个市场的距离为,目标函数为,约束条件为 （1）每
3、个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的存储容量。,（2）每个市场从各仓库得到的货物量之和应等于它的需要量。,（3）运输量不能为负数,例2. 木梁设计问题 把圆形木材加工成矩形横截面的木梁，要求木梁高度 不超过 ，横截面的惯性矩（高度的平方 宽度）不小 于 ，而且高度介于宽度与4倍宽度之间。问如何确定木 梁尺寸可使木梁成本最小.,设矩形横截面的高度为 ， 宽度为 ，则圆形木材的半径,而木梁长度无法改变，因此成本只与圆形 木材的横截面积有关。,目标函数为,约束条件为,（1）数学规划模型的一般形式：,其中,简记为MP(Mathematical Programming),2 非线性规划问题的数学模
4、型,（2）简记形式：,引入向量函数符号：,（3）数学规划问题的分类：,若 为线性函数，即为线性规划(LP)；,若 至少一个为非线性, 即为非线性规划(NLP)；,对于非线性规划，若没有 ,即X=Rn,称为 无约束非线性规划或无约束最优化问题； 否则称为约束非线性规划或约束最优化问题。,（4）可行域和可行解：,称,为MP问题的约束集或可行域。,若x在X内，称x为MP的可行解或者可行点。,（5）最优解和极小点,对于非线性规划（MP），若 ，并且有,如果有,定义:,如果有,定义,则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小解,例1： 用图解法求解 min f(x)=(x12)2 +(x22)2 s.
5、t. h(x)= x1 + x2 - 6 = 0,x1,x2,0,6,6,2,2,3,3,最优解 x* = ( 3，3 )T,可行解 x = ( 1.5，4.5 )T,最优级解即为最小圆的半径： f(x)=(x12)2 +(x22)2 = 2,3 非线性规划问题的图解法,对二维最优化问题，总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。,x1,x2,0,6,6,2,2,D可行域,最优解 x* = ( 2，2 )T,例2： 用图解法求解 min f(x)=(x1 - 2)2 +(x2 - 2)2 s.t. h(x)= x1 + x2 - 6 0,3 非线性规划问题的图解法,
6、最优级解即为最小圆的半径： f(x)=(x1 - 2)2 +(x2 - 2)2 = 0,解：先画出等式约束曲线 的图形抛物线，,例3：用图解法求解,再画出不等式约束区域，,最后画出目标函数等值线，,所以 最优解 x*=(4,1), 最优值 min f(x)=4.,4 梯度、Hesse矩阵、Jacobi阵,(1) 二次函数,一般形式:,矩阵形式:,二次型:,矩阵A的正定性: 正定、半正定、负定、不定。,其中AAT。,二次型的正定性: 正定、半正定、负定、不定。,（2） 梯度,定义：f(x) 是定义在En上的可微函数。f(x) 的n个偏导数为分量的向量称为f(x) 的梯度.,性质：设f(x) 在定
7、义域内有连续偏导数，即有连续梯度，则梯度有以下两个重要性质： 性质一 函数在某点的梯度不为零，则该梯度方向必与过该点的等值面垂直; 性质二 梯度方向是函数具有最大变化率的方向（负梯度方向也叫最速下降方向）。,解： 由于,例：试求目标函数 在点 x =0,1T 处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。,则函数在 x =0,1T 处的最速下降方向是,这个方向上的单位向量是：,解： 由于,例：试求目标函数 在点x =0,1T 处的最速下降方向，并求沿这个方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。,新点是：,函数值：,几个常用的梯度公式：,（3）Hesse矩阵,多元函数 f(
8、x) 关于x的二阶导数，称为 f(x)的Hesse矩阵.,当f(x)的所有二阶偏导数连续时,即,Hesse矩阵是对称的.,时，,几个常用Hessian公式：,（4）Jacobi矩阵,向量变量值函数：,向量值函数g(x)在点 x0处的Jacobi矩阵,向量变量值函数的导数：,(1)凸函数：,定义,5 凸函数和凸规划,例：正定二次函数,其中A是正定矩阵，,f(x)是凸函数。,参见P104例。,性质1:,（2）凸函数的性质,性质2:,是凸集。,证明:略.,定理1：（一阶条件）,n=1时几何意义：可微函数是凸的等价于切线不在函数图像上方。,（3） 凸函数的判定,定理2：（二阶条件）,（4）凸规划的定义
9、及其性质：,凸规划定义：,凸规划性质：,凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。,凸规划是以后重点讨论的一类非线性规划,线性函数,（1）微分学方法的局限性：,实际的问题中，函数可能是不连续或者不可微的。 需要解复杂的方程组，而方程组到目前仍没有有效的算法。 实际的问题可能含有不等式约束，微分学方法不易处理。,6 非线性规划方法概述,（2）数值方法的基本思路：迭代,给定初始点x0,根据x0,依次迭代产生点列xk,xk的最后一点为最优解,xk有限,xk无限,xk收敛于最优解,迭代格式,xk,xk+1,称pk为第k轮搜索方向，tk为第k轮沿pk方向的步长。,产生tk和pk的不同方法，形成了不同的算
10、法。,定义：特殊搜索方向下降方向,定义：特殊搜索方向可行下降方向,解非线性规划问题，关键在于找到某个方向，使得在此方向上，目标函数得到下降，同时还是可行方向。 这样的方向称为可行下降方向。,定义：算法收敛、下降迭代算法,集合S上的迭代算法：,（1）初始点,；,（2）按照某种搜索方向pk产生下一个迭代点,（i）如果点列,收敛于最优解,，则称此算法收敛。,（ii）如果,，则称此算法为,下降迭代算法。,.,.,.,（3）下降迭代算法步骤,（1）给出初始点,，令,；,（2）按照某种规则确定下降搜索方向,；,（3）按照某种规则确定搜索步长,，使得,；,（4）令,，,；,（5）判断,是否满足停止条件。是则
11、停止，否则转第2步。,搜索步长确定方法：,称,为最优步长，且有对k的梯度,（4） 终止条件,（5）常用的收敛性判别准则:,取其中之一,也可同时取(1)与(2);(1)与(3);或(1),(2)和(3)等。,（6）算法的收敛速度,则称 的收敛阶为 。,设算法所得的点列为,，如果,1.线性收敛（当k充分大时）：,2.超线性收敛：,3.二阶收敛： （*）式中 =2时成立。,（*）,单变量(一维)最优化,一维最优化问题 进退法 黄金分割法 抛物线搜索法 三次插值法,下降迭代算法中最优步长的确定,.,.,一维最优化问题：,解析的方法（极值点的必要条件）,一、一维最优化问题,1. 单峰函数,定义：设,是区
12、间,上的一元函数，,是,在,上的极小点，且对任意的,有,（a）当,时，,（b）当,.,.,.,.,.,则称 是单峰函数。,.,.,性质：通过计算区间 a, b 内两个不同点的函数值，就可以确定一个包含极小点的子区间。,.,.,.,.,.,2 搜索法求解：,或,基本过程： 给出a,b,使得x*在a,b中。a,b称为搜索区间。 迭代缩短a,b的长度。 当a,b的长度小于某个预设的值，或者导数的绝对值小于某个预设的正数，则迭代终止。,二进退法,思想,从一点出发,按一定的步长, 试图确定出函数值呈现“高 - 低 - 高”的三点。一个方向不成功，就退回来，再沿相反方向寻找。,进退法的计算步骤,如何确定包
13、含极小点的一个区间？,例：,假定：已经确定了单峰区间a,b,新搜索区间为a,x2,新搜索区间为x1,b,三. 黄金分割法（0.618法）,区间缩小比例的确定：,区间缩短比例为(x2-a)/(b-a),缩短比例为(b-x1)/(b-a),缩短比例 满足： 每次插入搜索点使得两个区间a,x2和x1,b相等； 每次迭代都以相等的比例缩小区间。,黄金分割法的计算公式的推导：,通过确定 的取值，使上一次迭代剩余的迭代点恰与下一次迭代的一个迭代点重合，从而减少算法的计算量。,同理可得。,3. 0.618法的算法步骤：,确定a,b,计算探索点 x1=a+0.382(b-a) x2=a+0.618(b-a),
14、停止，输出x1,以a,x2为新的搜索区间,停止，输出x2,以x1,b为新的搜索区间,3. 0.618法的算法框图：,黄金分割法的迭代效果： 第 k 次后迭代后所得区间长度为初始区间长度的,其它的试探点算法：Fibonacci算法。,例：,解：,1、第一轮： t1=1.146, t2=1.854,t200.5,2、第二轮： t2=1.146, t1=0.708,t20=1.1460.5,3、第三轮： t1=0.438, t2=0.708,b -t1=1.146-0.4380.5,4、第四轮： t2=0.876=(1.146-0.438), t1=0.708,b-t1=1.146-0.7080.5
15、,输出：t*=t2=0.876为最优解，最优值为-0.0798,四 Fibonacci法,此法类似于0.618法，也是用于单峰函数。其计算过程也与0.618类似，第1次迭代计算两个试探点，以后每次迭代只需新加一点，另一试探点取自上次的迭代点。此法与0.618法的主要差别为：区间长度的缩短比率不是常数，而是由Fibonacci 数确定；给出精度后，迭代次数可预先确定；适合于参数只能取整数值的情况。,定义 称满足条件 （i）F0 = F1 = 1； （ii） 的数列 Fn 为Fibonacci数列。,由定义推知Fibonacci数列的前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。通过求解递推关系可求得该数列的通项为,在Fibonacci法中，第n次迭代的搜索区间的长度（记为 ）是上一次区间长度的 倍,所以要使在第n次迭代时搜索区间的长度不超
