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1、第二章 平面向量 章末检测一、选择题1与向量a(1，)的夹角为30的单位向量是()A(，)或(1，)B(，)C(0,1)D(0,1)或(，)答案D2设向量a(1,0)，b(，)，则下列结论中正确的是()A|a|b|BabCab与b垂直Dab答案C3已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于()A(1，2)B(1，2)C(1,2)D(1,2)答案D解析根据力的平衡原理有f1f2f3f40，f4(f1f2f3)(1,2)4已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则abc的模等于()A0B2C.D2答案D解析|ab
2、c|2|2|2.5已知|a|5，|b|3，且ab12，则向量a在向量b上的投影等于()A4B4CD.答案A解析向量a在向量b上的投影为|a|cosa，b|a|4.6若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()AabB.abC.abDab答案B解析令cab，则cab.7若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x等于()A6B5C4D3答案C解析a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.8向量(4，3)，向量(2，4)，则ABC的形状为()A等腰非直角三角形B等边三
3、角形C直角非等腰三角形D等腰直角三角形答案C解析(4，3)，(2，4)，(2，1)，(2,1)(2,4)0，C90，且|，|2，|.ABC是直角非等腰三角形9设点A(1,2)、B(3,5)，将向量按向量a(1，1)平移后得到为()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,7)答案B解析(3,5)(1,2)(2,3)，平移向量后得，(2,3)10若a(，2)，b(3,5)，且a与b的夹角是钝角，则的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析ab310.当a与b共线时，.此时，a与b同向，.11在菱形ABCD中，若AC2，则等于()A2B2C|cos AD与菱形的边长有关答案B解析如图，设对角线A
4、C与BD交于点O，.()202，故选B.12. 如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是()A.B.C.D.答案A解析根据正六边形的几何性质，.0，0，|cos |2，|2|cos |2.比较可知A正确二、填空题13已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则m_.答案1解析a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0.m1.14已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.答案3解析ab|a|b|cos 302cos 303.15已知非零向量a，b，若|a|
5、b|1，且ab，又知(2a3b)(ka4b)，则实数k的值为_答案6解析由(2a3b)(ka4b)2ka212b22k120，k6.16. 如图所示，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是_答案解析因为点O是A，B的中点，所以2，设|x，则|1x(0x1)所以()22x(1x)2(x)2.当x时，()取到最小值.三、解答题17已知a，b，c在同一平面内，且a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c；(2)若|b|，且(a2b)(2ab)，求a与b的夹角解(1)ca，设ca，则c(，2)又|c|2，2，c(2,4)或(2，4)(2)
6、(2ab)，(a2b)(2ab)0.|a|，|b|，ab.cos 1，180.18已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，c5a3b，d3akb，当实数k为何值时：(1)cd；(2)cd.解由题意得ab|a|b|cos 60233.(1)当cd，cd，则5a3b(3akb)35，且k3，k.(2)当cd时，cd0，则(5a3b)(3akb)0.15a23kb2(95k)ab0，k.19在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解(1)(3,5)，(1,1)，求两条对
7、角线的长即求|与|的大小由(2,6)，得|2，由(4,4)，得|4.(2)(2，1)，(t)t2，易求11，25，由(t)0得t.20已知向量、满足条件0，|1.求证：P1P2P3是正三角形证明0，()2()2，|2|22|2，cosP1OP2，P1OP2120.|.同理可得|.故P1P2P3是等边三角形21已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.证明如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)(1,2)(2,0)(1,2)，(0,1)(2,2)(2，1)，1(2)2(1)0，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2.同理由，得y2x4，代入x2y2.解得x，y，即P.22242，|，即APAB.
