《2018-2019上学期九年级数学专题课：利用二次函数求“最值”的应用举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019上学期九年级数学专题课：利用二次函数求“最值”的应用举例（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新人教版九年级数学上册专题课,赵化中学,郑宗平,2018.10.15,课题,3.提高学习过程中 的“动手操作”能力，培养合作学习的意识和对知识探索精神.,1.熟悉用二次函数 的“最值”来解决实际问题的几种常见题型，掌握其解答的基本思路，继续巩固二次函数的性质；,学习目标,2.认识到数学建模思想独特作用，感受数学的价值和魅力；,3.提高学习过程中 的“动手操作”能力，培养合作学习的意识和对知识探索精神.,若a0,则 时, 最小,则 时, 最大,若a0,可配方为,目标复习,2.写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标，并写出其最值. .y=x2-4x-5; (配方法) (2).y=-x2-3x+4.(公式
2、法),预备练习,1.填表：,(0,4),(1,-5),(-2,3),(5,2),y轴(x=0),直线x=1,直线x=-2,直线x=5,最大值4,最小值-5,最大值3,最大值2,.略解:先直接添项配方为y=(x-2)2-9.开口方向：向上；对称轴：直线x=2；顶点坐标:(2，-9)；最小值:-9.,.略解:先计算 .开口方向：向下；对称轴：直 线 ；顶点坐标： ；最大值： .,预备练习,题型一. 最大面积,题型一.探究,探究:(新人教版九年级数学上册49页探究1） 用总长60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S与矩形一边长 的变化而变化；当 是多少米时，场地的面积S最大？,分析:先可以表示出S与 的
3、函数解析式，并求出使S最大的 的值.,即,由于表示出的是S关于 的二次函数，我们都知道当a0时，二次函数有最大值.,略解：矩形的周长为60m,所以矩形的两邻边和为30m,由于矩形的一边长为 ，所以另一边长为 ，根据矩形的面积得：,因此，当二次函数 时，S有最大值 .,也就是说当 是15m时，S的面积最大.,明白了！原来求“最大面积”用构建二次函数的办法来解决.！,实际问题要注意取值范围！,例1.如图，在ABC中，AB=8cm,BC=6cm，B=90；点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点B以1厘米/秒的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后PB
4、Q的面积最大？最大面积为多少？,分析：可先用时间来表示PBQ的两直角边，并以此表示PBQ的面积，可建立起一个二次函数，通过其“最值”解决问题.,略解：设经过x秒后PBQ的面积为ycm2, AP=2xcm,PB=(8-2x)cm,QB=xcm.根据题意，得：,整理配方：,a=-10, 抛物线的开口向下，y有最大值., P、Q分别从A、B同时出发2秒后PBQ的面积y最大,最大面积为4.,题型一.例1.,例2.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线交于A(-1,0)、C(2,3)两点，与y轴交于点G，其顶点为D.,.求抛物线和直线AC的解析式；,.若P点是抛物线上位于直线AC的上方的一个动点，求
5、APC的最大面积.,略析： .可以直接通过点A、C的坐标利用待定系数法的解答方式求得两个的解析式.,.可采用割补法来表示出APC的面积(这里采用“割”的办法，通过作垂线化成两个三角形，见后面的解答），以此建立二次函数解决问题.这里用二次函数的解析式表示出动点的横纵坐标比较关键.,略解： .(请同学们在草稿上完成书面解答),.可采用割补法来表示出APC的面积(这里采用“割”的办法，通过作垂线化成两个三角形，见后面的解答），以此建立二次函数解决问题.这里用二次函数的解析式表示出动点的横纵坐标比较关键.,题型一.例2.,.过P作x轴的垂线，垂足为点M,交直线AC于K；过C作x轴的垂线，垂足为点N.,
6、若设点K的横坐标为x,则代入y=x+1后可得点K(x,x+1);同样代入 y=-x2+2x+3后可得点P(x,-x2+2x+3)；所以得到PK=(,-x2+2x+3)-(x+1)=-x2+x+2;又A(-1,0)、C(2,3)，所以AN=3.,SAPC=SAKP+SPKC,SAPC,当 时，,APC的面积有最大值，最大值为,追问： 若抛物线的对称轴与直线AC相交于点Q，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBQ交抛物线于点F，以Q，D，F，E为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； (提示:本问注意分类讨论，作为同学们课外研究.）,例2解析,AN=3,依次单击此
7、处可单独打开关闭云图！,1.注意利用平行于y轴的两点的横坐标相同进行纵坐标的转换；,2.也要注意利用平行于x轴的两点的纵坐标相同进行横坐标的转换.,水平距离.,主要就是横纵坐标都要用代表自变量的同一个字母的式子表示.,牛刀小试1,求几何图形“最大面积”注意用同一个未知数（自变量）表示与面积相关的线段的长！在平面直角坐标系中要注意用坐标来表示与面积相关的线段长，有的坐标还需要借助于题中函数来转换（比如例2），最终把问题转化为一个二次函数来解决，是“数学建模”思想的一个具体体现.,2.如图,在ABC中,B=90,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与
8、点B重合）,动点Q从点B开始沿 BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.,1.在一幅长60cm，宽40cm矩形风景画的四周镶一条宽度一样的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图所示),若要使这个挂图的面积为ycm2 ,设金色纸边的宽度为xcm，那么y关于x的函数为 （ ）,A,3,牛刀小试2,3.如图，在一面靠墙的空地上用一长为24米的篱笆，围成中间隔两道篱笆的长方形花圃；设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.,.求S与x的函数关系式及自变量的取值范围： .当x为何值时花圃的面积最大，最大值为多少？ .若墙的最大可用长度为8
9、米，求围成花圃的最大面积.,(1).,(2).,(3).,当x=3时，S有最大值36；,当x=4时，花圃的最大面积32.,因为a0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小！,4.如图,已知二次函数 的图象与x轴交于B、C两点，A是抛物线与y轴的交点，点D是线段AC上的动点，过点D作x轴的垂线与抛物线相交于点E，四边形ABCE的面积有最大值吗？如果有，最大值是多少？并求出此时点E的坐标.,25,(3,-5),OC=6,题型二. 高度、长度的最值,题型二.探究,探究:(新人教版九年级数学上册49页问题） 从地面竖直向上跑出一个小球，小球的而高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是
10、h=30t-5t2(0 t 6),小球运动的时间为多少时，小球最高？小球运动的最大高度是多少？,探究： 画出h=30t-5t2(0 t 6)的图象发现是一条开口向下的抛物线；既然是开口向下的抛物线，所以当t取最高点顶点的横坐标时，这个函数有最大值，即h最大.,因此，当二次函数 时，h有最大值 .,也就是说小球的运动时间为3s时，小球最高，小球在空中的最大高度为45m.,哦！原来求“最大高度”也需用二次函数的“最值”来帮忙！,师生共同重温前面的“复习”.,课题二.例1,把抛物线设为y=ax2 +k.由题中题中条件可知A(-3,1.7)、B(1.5,3.05)的坐标代入列方程组：,故此二次函数的解
11、析式为,解得：,例1.小强某次练习投篮恰好命中篮筐中心，篮球的运动路线是一条抛物线,篮球在离地面垂直距离1.7m处出手，篮球在水平距离为3m处到达的最高点；小强与篮筐中心的水平距离L是4.5m,篮筐中心到地平面的垂直距离为3.05米；求篮球离地面到达的最大高度为多少？,分析：由于篮球的运动路线是一条抛物线，所以可以通过建立适当的平面直角坐标系，利用二次函数的“最值”来解决问题.,略解：如图，以地平线为x轴，过篮球运动的最高点垂直于地平线的直线为y轴建立平面直角坐标系(其它条件见图中标示).,因此，当二次函数 时，y有最大值 .,所以篮球离地面到达的最大高度为3.5m.,例2.如图，某公路隧道的
12、横断面为抛物线，其中最大高度为6m,底部宽度OM为12m,现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系.,.直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； ,求出这条抛物线的解析式； .若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB;使C、D点在抛物线上；A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”的总长的最大值是多少？,分析：问可以根据高度、宽度等直接写出；问在问的基础上把解析式设成顶点式，把顶点P和点M的坐标代入即可解决；问以通过函数坐标表示出“支撑架”长宽，以周长建立二次函数解决问题；要注意的是“支撑架”总长未包括AB的长,应为AD+DC+CB的和.,略解：,.M(12,0)、P(6,6);,.设该抛物
13、线为y=a(x+m)2+n, 由P(6,6)得y=a(x-6)2+6.,解得:,故此二次函数的解析式为：,即,又M(12,0),则,课题二.例2,.设A(m,0).,则B(12-m,0).,“支撑架”的总长=AD+DC+CB,抛物线的开口向下,当m=3米时，AD+DC+CB有最大值15米.,牛刀小试1,由抛物线和矩形的轴对称性易证OA=MB=m.,2.某烟花厂为庆祝一运动会圆满闭幕而专门研制了一种新型礼炮，这种礼炮的升空的高度h(m)与飞行时间t(s)之间的关系式 ,这种礼炮点火升空到最高处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 （ ）,1.直接在横线上写出下列函数，当x取何值时的y的最大或最小
14、值：,. ;,. .,当x=1时，y有最大值12,当x=-2，y有最小值-7,B,5.如图,已知一条直线过点(0，4),且与抛物线 交于A、B两点，其中点A的横坐标是-2. .求这条直线的函数关系式及点B的坐标； .在x轴上是否存在点C,使得ABC是直角三角形？若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由； .过线段AB上一点P作,PMx轴,交抛物线于点M,点M在第一象限;点N(0,1),当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？,4.如图，从地面上竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动的时间t单位:s)的函数关系式 ,那么小球运动的最大高度h= 米.,3
15、.蔡老师对小苇推铅球的录像进行了技术分析，发现铅球行进的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)满足函数关系式 ,根据这关系式可知出小苇推出铅球离开地面的的最大高度为 .,3m,20,本题供同学们课外提升；放映时单击右边图片可打开“参考解答”，再单击则关闭.,牛刀小试2,题型三. 最大利润,探究:(新人教版九年级数学上册50页探究2） 某商品现在的售价为每件60件，每星期可可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？,题型三.探究,分析:总利润=单件利润实际件数. .总利润=(60-40+涨价）(300-少买的件数）；.总利润=(60-40-降价）(300+多买的件数）.,略解: .设每件涨价x元，则每周少买件数为10x件,单件利润为（60-40+x）元，实际件数为(300-10x)；若设总利润为y元，则：,其中,a=-100,当x=5时,y最大；即若涨价定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元.,.设每件降价x元，则每周多买件数为20x件,单件利润为（60-40-x）元，实际件数为(300+20x)；若设总利润为y元，则：,其中,a=-200,当x=2.5时,y最大；即若降价定价为57.5元时，利润最大，最大利润为6125
