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1、第八章方阵问题一、 知识要点及基本方法方阵问题应用题就是把人或物按照一定的条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物的数量的应用题。特点是：方阵每边的实物数量相等，同边上相邻两层的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8。数量关系：（1）方阵每边人数和四周人数的关系： （每边人数-1）4=四周人数 四周人数4+1=每边人数（2）方阵总人数的计算方法： 实心方阵：每边人数每边人数=总人数空心方阵：外边人数外边人数-内边人数内边人数=总人数若将空心方阵分成4个相等的矩形计算，则：（外边人数-层数）层数4=总人数二、例题精讲 例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。排列这个方阵共
2、需要多少名同学？解题分析 这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？ 解：88=64（人） 答：排列这个方阵，共需要64名同学。 例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析 依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-
3、1）4只。解：（1）棋子的总数是多少？66=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）4=20（只） 答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。 例3 一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？解题分析 排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。另外，要求出剩下多少只棋子，就要先求出棋子的总数，然后减去去掉的棋子数，就是剩下的棋子数。 解：（1）去掉多少只棋子？
4、82-1=15（只）（2）还剩多少只棋子？88-15=49（只） 答：要去掉15只棋子，还剩下49只棋子。 例4 育英小学四年级的同学排成一个实心方阵队列，还剩下5人，如果横竖各增加一排，排成一个稍大的实心方阵，则缺少26人。育英小学四年级有多少人？解题分析 排成一个实心方阵队列，还剩下5人，说明是多出5人，如果横竖各增加一排后，缺少26人，说明横竖各增加一排所需要的人数是5人与26人的和，那么（5+26）人相当原来方阵中两排的人数多1人，从（5+26）人中减去角上的1人，再除以2，就可求出原来方阵中一排的人数。因此，可求出原来方阵中的人数，然后加上剩下的5人，就可求出四年级的总人数是多少人。
5、 解：（1）原来方阵中每排有多少人？ （5+26-1）2=15（人）（2）四年级共有多少人？1515+5=230（人） 答：育英小学四年级有230人。 例5 同学们排成一个三层的空心方阵。已知最内层每边有6人，这个方阵共有多少人？解题分析 要求出这个方阵有多少人，就要先示出这个方阵最外层每边多少。已知最内层每边有6人，又知道这个空心方阵有3层，根据方阵问题应用题特点，可以求出这个方阵最外层每边有6+（3-1）2人，即10人。又根据方阵问题应用题数量关系：空心阵总人数=（外边人数-层数）层数4，即可求出这个方阵共有多少人。 解：6+（3-1）2-334=84（人） 答：这个方阵共有84人。例6
6、某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多15人，如果在方阵的空心部分再增加一层又少21人。这个小学四年级的学生一共有多少人？解题分析 排成四层空心方阵多15人，在方阵的空心部分增加一层21人，说明增加这一层的人数就是从外向内第五层的人数是（15+21）人，根据每相邻两层的人数相差8人，可分别求出每层人数，然后霜加，再加上多的15人，就可求出四年级的总人数。 解：（1）从外向内第五层有多少人？ 15+21=36（人） （2）从外向内第四层有多少人？ 36+8=44（人）（3）从外向内第三层有多少人？ 44+8=52（人） （4）从外向内第二层有多少人？ 52+8=60（人）（5）最外层有多少人
7、？ 60+8=68（人） （6）四年级一共有多少人？ 44+52+60+68+15=239（人） 答：四年级的学生一共有239人。练习题1 同学们排成一个方阵做早操，每行9人，这个方阵一共有多少人？ 99=81（人）2 同学们排队站成一个实心方阵，排成11行11列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？112-1=21（人）3 同学们排队站成一个方阵，一共站7行7列，如果要增加一行一列，需要增加多少人？（7+1）2-1=15（人）4 有72人排成一个三层的空心方阵，示最外层每边有多少人？外层：（72+83）3=32（人）外层每边324+1=9（人）5 设计一个团体操表演队形，想排成一个6层的中空方阵
8、，已知参加表演的人数只有360人，问最外每边应排多少人？ 360+8（1+2+3+4+5）64+1=21（人）6 一个正方形队列，横竖方向各减少一行，那么就减少13人，这个正方形队列原来有多少人？（13+1）2（13+1）2=497 有64名少先队员排成一个每边两层的中空方阵，现要在外面增加一层，成为一个三层中空方阵，需要增加少先队员多少人？（6442+2+2-1）4=44（人）8 一个空心方阵的花坛共有12层花草，其中最内层每边有18盆，这个花坛共有花草多少盆？18+（12-1）2=40（盆）（40-12）124=1344（盆）9 四年级同学参加体操表演，先排成每边16人的实心方阵队形，后来
9、又变成一个四层空心方阵，这个中空方阵最外层有多少人？161644+4=20（人）（20-1）4=76（人）10 一队战士排成三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又差28人。这队战士共有多少人？如果排成一个实心方阵，每边多少人？1818-1212+16=196（人）196=141411 有16个学生站在一块正方形场地的四周，四个角上各站1人。如果站的人数相等，那么，每边站了多少个学生？（16-4）4+2=5（个）12 一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？80+80+8+80+82=264（人）小石头求积记小石头来到数学王国，想算算自己的体积。国王了解了小石头的来
10、意后，把它介绍给了体积大臣。 体积大臣朝小石头上下打量了一番，只见它圆不圆，方不方，遍体是棱，满身是角，沉思了半天，与小石头商量说：“我看你还是先到石匠师傅那里去一趟，加工成长方体也好，正方体也行，或者是圆柱体、圆锥体，这样，我们就可以按照体积计算公式算出你的体积来了。”小石头听了，不好意思地说：“不瞒你说，我刚从石匠师傅那里来，师傅说我是一块稀有金属矿石，浑身都是宝，一加工，势必要造成损失。我今天来请教大臣，就我这个圆不圆、方不方的不规则模样，能不能帮我计算一下体积呢？”体积大臣对小石头的这番请求感到有些为难，于是只好去向数学王子请教。数学王子毕竟年轻有为，脑子灵活，见到小石头这副模样，立即想起了古希腊数学家阿基米德用水测试皇冠含金量的故事，就把小石头领进了圆柱体室。只见数学王子先在一只圆柱体玻璃筒里倒进适量的水，量一量水的高度，划上标记；接着把小石头放进这只盛水的玻璃筒里，水的高度随即上升。数学王子让体积大臣算出了上升部分的水圆柱体的体积。然后告诉小石头说：“这一部分上升的水的圆柱体的体积就是你小石头的体积。”小石头得到了满意的答复，高高兴兴地谢别了数学王子。
