《江苏省宿迁市高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数周期性课件 苏教版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省宿迁市高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数周期性课件 苏教版必修4（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的周期性,The Periodicity of Function,由单位圆中的三角函数线可知,正,余弦函数值的变化呈现周期现象:每当角增加(或减少)2整数 倍,所得角终边与原来相同,故两角的正弦,余弦值也分别相同,即:,我们称正余弦函数所具有的这种性质称为周期性,问题:如何用数学的语言来刻画函数的周期性?,复习回顾,函数周期性的定义,对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域的每一个值时，都满足 f (x + T )=f ( x ) 那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数 T叫做这个函数的周期。,不为零的常数,sin(x+ )=sinx,2k,正弦函数和
2、余弦函数均为周期函数， 且周期 T=2k (kZ且k0),x取定义域内的每一个值,cos(x+ )=cosx,2k,(kZ且k0),每一个,思考：(1)一个函数的周期有多少个? (2)周期函数的图象有何特征？,周期函数图象的形状随x的变化有规律的重复变化。,最小正周期的概念：,对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个 最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。,sin(x+ )=sinx cos(x+ )=cosx,2 2,自变量x只要并且至少增加到x+2时， 函数值才能重复取得。,正弦函数和余弦函数的最小正周期是2。,最小正周期在图象上的意义 ：,最小正周期是函数图象重
3、复出现需要的最短距离。,若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如左图所示:,(1):求该函数的周期,(2):求t=11s时钟摆的高度,2,4,10,50,例题讲解1:,解:,(2):设h=f(t),由函数的周期为2s可知,(1):由函数的图像可知该函数的周期为2s,f(11)=f(1+2x5)=f(1)=10,答:t=11s时钟摆的高度为10mm,求下列函数的周期：,（1）y=3cosx,解：因为3cos(x+ )=3cosx,（x只要且至少增加到x+2）,2,所以原函数的周期是2。,（2）y=sin(x+/4)+1,解：因为 sin(x+ )+/4+1= sin(x+/4)+1,
4、2,所以原函数的周期是2。,例题讲解2:,（3）求函数y=cos2x的周期,解:,设f(x)周期为T,则f(x+T)=f(x),即cos2(x+T)=cos2x对任意的实数x都成立,不妨令u=2x,也就是cos(u+2T)=cosu对任意的u都成立,由于y=cosu的周期为2 ,可知cos(u+2T)=cosu对于任意的u都成立的2T的最小正值为2 ,可知2T=2 ,即T= ,f(x)=cos2x的最小正周期为,所以原函数的周期是 。,结论：形如y=Asin(x+) 或y=Acos(x+) (A,为常数,A0, xR) 的函数的周期为T=,(A,为常数, A0, xR),课堂练习：求下列函数的
5、周期（直接用结论做）：,三角函数具有周期性的本质原因:,三角函数值的大小是由角的终边在坐标系中的位置决定的,而在角的终边转动时,终边每转过2,都会与原来的终边重合,这样三角函数值就会周而复始地出现。,思考： 函数f(x)=x2是否为周期函数？如果是，周期是多少？,令f（x+T）=f（x），,即(x+T)2=x2,即x2+2xT+T2=x2，,所以2xT+T2=0,即T(2x+T)=0,所以T=0或T=-2x,因为T=0或T=-2x 均不符合函数周期的要求，所以函数f(x)=x2不是周期函数。,课堂小结：,2. 正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx均为周期函数， 且（最小正）周期为2。,1. 函数周期性的概念。,3.形如y=Asin(x+) 或y=Acos(x+) (A,为常数,A0, xR) 的函数的周期为T=,4. 函数周期性的用途。,课后作业：,教材：P27-3,4 P45(感受理解)1 讲义:单元练习 思考题：常数函数f(x)=1是否为周期函数？如果是，此函数的（一般）周期为多少？此函数是否存在最小正周期？最小正周期是多少？,
