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1、第九节圆锥曲线的综合问题2019考纲考题考情1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点。(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断。设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程为f(x，y)0。由消元，(如消去y)得ax2bxc0。若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)。若a0，设b24ac。a当0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b当0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c当0时，直线和圆锥曲线没有公共点。2直线与圆锥
2、曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|x1x2| |y1y2|。(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)。3圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k。在使用根与系数关系时，要注意前提条件是0。点差法的常见结论(设AB为圆锥曲线的弦，点M为弦AB的中点)：标准方程点
3、差法结论1(ab0)kABkOM1(ab0)kABkOM1(a0，b0)kABkOM1(a0，b0)kABkOMy22px(p0)kAB(y0为中点M的纵坐标)x22py(p0)kAB(x0为中点M的横坐标) 一、走进教材1(选修21P71例6改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)。故选C。答案C二、走出误区微提醒：没有发现直线过定点，导致运算量偏大；不会用函数法解最值问题；错用双曲线的
4、几何性质。2直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切C相离 D不确定解析直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交。故选A。答案A3如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线y22px(0p14)和圆(x4)2y29分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB|CD|取得最大值时，直线AB的方程为()Ax2 BxCx Dx1解析根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得1或7，又0p14，故p2，设直线AB的方程为xt(0t3)，则直线CD的方程为x4t，则|AB|CD|228(0t3)，设f(t)t(9t2)(0t3)
5、，则f(t)93t2(0t00t，令f(t)0t0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_。解析由题设条件可知ABF2为等腰三角形，只要AF2B为钝角即可，所以有2c，即b22ac，所以c2a22ac，即e22e10，所以e1。答案(1，)第1课时最值、范围、证明问题考点一 最值问题【例1】(2019广东六校联考)已知圆C：(x2)2y236与定点M(2，0)，动圆I过M点且与圆C相切。(1)求动圆圆心I的轨迹E的方程；(2)若过定点N(0,2)的直线l交轨迹E于不同的两点A，B，求|AB|的最大值。解(1)设
6、动圆I的半径为r，由题意可知，点I(x，y)满足|IC|6r，|IM|r，所以|IC|IM|6。由椭圆的定义知点I的轨迹为以C，M为左、右焦点的椭圆，且其长半轴长a3，半焦距c2，可得短半轴长b1，故轨迹E的方程为y21。(2)当直线l的斜率不存在时，A(0,1)，B(0，1)或A(0，1)，B(0,1)，此时|AB|2。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx2，由消去y得，(19k2)x236kx270，由(36k)2108(19k2)0，得k2。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|，令19k2t，则t4，|AB|22，又因为，所以当，即k时
7、，|AB|max。综上，|AB|的最大值为。圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解。 【变式训练】(1)设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12B8,11C8,12D10,12(2)(2019邢台模拟)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称。求实数m的取值
8、范围；求AOB面积的最大值(O为坐标原点)。(1)解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于两点M，N，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点M，N，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8,12。故选C。答案C(2)解由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb。由消去y，得x2xb210。因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，(*)将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b，(*)由(*)(*)得m
9、。令t，则t2。则|AB|，且O到直线AB的距离为d。设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2。故AOB面积的最大值为。考点二 范围问题【例2】(2018浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上。(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围。解(1)设P(x0，y0)，A，B。因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根，所以y1y22y0，因此，PM
10、垂直于y轴。(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2。因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0)。因为x1(x0b0)的离心率为，抛物线C2：x2ay的准线方程为y。(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点P，Q，若O在以线段PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围。解(1)由题意得，所以a2，故抛物线C2的方程为x22y。又e，所以c，所以b1，从而椭圆C1的方程为y21。(2)显然直线x0不满足题设条件，故可设直线l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)。由得(14k2)x216k
11、x120。因为(16k)2412(14k2)0，所以k。x1x2，x1x2，根据题意，得0POQ0，所以x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)42k40，解得2k0)。(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0，证明：|，|，|成等差数列，并求该数列的公差。解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1。两式相减，并由k，得k0。由题设知1，m，于是k。由题设得0m，故k。(2)由题意得F(1,0)，设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)。由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m1)，设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上。(1)求点M的轨迹E的方程；(2)延长MC交曲线E于点N，曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B，试判断以点B为圆心，线段BC长为半径的圆与直线MN的位置关系，并证明你的结论。解(1)设M(x，y)，由题意可知，A(1r,0)，AM的中点D，x0，因为C(1,0)，所以，。在C中
