《2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第七章 第二节 空间几何体的表面积与体积 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第七章 第二节 空间几何体的表面积与体积 （28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节空间几何体的表面积与体积2019考纲考题考情1几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱2r22rl，S锥r2rl。(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S(rr)(r1r2)l。(5)球的表面积为4R2(球半径是R)。2几何体的体积(1)V柱体Sh。(2)V锥体Sh。(3)V台体(SS)h，V圆台(rr1r2r)h，V球R3(球半径是R)。1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差。(2)
2、底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等。2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra。(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R。(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31。 一、走进教材1(必修2P27练习T1改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1 cm B2 cmC3 cm D cm解析由题意，得S表r2rlr2r2r3r212，得r24，所以r2(cm)。答案B2(必修2P28
3、A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_。解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1abcabc，剩下的几何体的体积V2abcabcabc，所以V1V2147。答案147二、走近高考3(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30。若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_。解析由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高。设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4。在RtASO中，由题意知SAO30，所以S
4、Ol2，AOl2。故该圆锥的体积VAO2SO(2)228。答案84(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()AB CD解析由题可知球心为圆柱的中心，则圆柱底面圆的半径r，故圆柱的体积Vr2h。答案B三、走出误区微提醒：由三视图不能还原几何体求错体积；不会分类讨论致误；长度单位与体积单位换算出错。5已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3。解析根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为1 m的平行四边形，四棱锥的高为3 m。故该四棱锥的体积V2132(m3)。答案26圆柱
5、的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的表面积为()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8(32)解析分两种情况：以长为6的边为高时，4为圆柱底面周长，则2r4，r2，所以S底4，S侧64242，S表2S底S侧82428(31)；以长为4的边为高时，6为圆柱底面周长，则2r6，r3，所以S底9，S表2S底S侧182426(43)。故选C。答案C7九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2 000斛(1丈10尺，1尺10寸，斛为容积单位，1斛1.62立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为()A1丈3尺 B5丈4尺C9丈2尺 D48丈6尺解析设圆柱底面半径为
6、r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为Vr2h2 0001.623r213.33，所以r281，即r9，所以圆柱底面圆周长为2r54,54尺5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B。答案B考点一 规则几何体的表面积与体积【例1】(1)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10(2)(2019南宁、柳州联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是()解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所
7、得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212。(2)若俯视图为选项C中的图形，则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥PABCD，如图所示，该四棱锥的体积V(22)2，符合题意。若俯视图为其他选项中的图形，则根据三视图易判断对应的几何体不存在。故选C。答案(1)B(2)C规则体的体积和表面积直接按柱体、锥体、台体和球体的体积和表面积公式进行计算即可。 【变式训练】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A BC13 D解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示。则CC平面ABC，上、下底均为等腰直角三角形，ACBC，A
8、CBC1，ACBCCC2，所以AB，AB2。所以棱台的上底面面积为11，下底面面积为222，梯形ACCA的面积为(12)23，梯形BCCB的面积为(12)23，过A作ADAC于点D，过D作DEAB于点E，则AB平面ADE，从而AEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高的，所以DE，所以AE，所以梯形ABBA的面积为(2)，所以几何体的表面积S23313。故选C。答案C考点二 组合体的体积和表面积【例2】(2019福建三明模拟)我国古代数学名著九章算术记载的刍甍是底面为矩形，顶部只有一条棱的几何体。如图为某个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则它的体积为()A B160C
9、D64解析由三视图可知，该刍甍是一个如图所示的几何体。(一割为三)如图，分别取QN，PM上的两个四等分点B，E，C，F，连接AB，BC，AC，DE，DF，EF。则ABC与DEF所在的平面将该几何体分成一个直三棱柱ABCDEF和两个全等的四棱锥ABCPQ，四棱锥DFENM。其中直三棱柱ABCDEF中的ABC与DEF是等腰三角形，BC4，点A到BC的距离d4，设ABC与DEF的面积为S1，则S1448。易知BE4，故直三棱柱ABCDEF的体积V1S1BE8432。四棱锥的底面是矩形，QB2，PQ4，故四棱锥的底面积S2248。由三视图可得四棱锥的高h4，所以四棱锥的体积V2S2h84。所以该几何体
10、的体积VV12V2322。故选A。解析：(一割为二)如图，分别取PM，QN的中点为G，H，连接DG，GH，DH，则DGH所在平面将几何体分为一个三棱柱AQPDHG与一个四棱锥DGHNM。其中四棱锥DGHNM的底面是边长为4的正方形，由三视图可得点D到平面GHNM的距离h4，故四棱锥DGHNM的体积V1424；三棱柱AQPDHG的侧面QPGH是边长为4的正方形，侧棱AD到侧面QPGH的距离d4，故其体积V242432。所以该几何体的体积VV1V232。故选A。答案A该题由三视图给出的几何体是一个组合体，根据其结构特征将其分割成三个(或两个)规则几何体，然后分别求出三个(或两个)几何体的体积。这种
11、分割求解的方法实质也是转化与化归思想的体现。该题中的解法一要注意分割出直三棱柱ABCDEF之后对剩余两个几何体的识别四棱锥ABCPQ，四棱锥DFENM。 【变式训练】某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为()A B2C D2解析由几何体的三视图得其直观图，如图所示。该几何体由半个圆柱与球构成，且球的半径与圆柱底面半径等长。由三视图中的数据可得，圆柱的底面半径R1为1，母线l的长为，球的半径R2为1。所以该几何体的表面由圆柱侧面的一半、轴截面、左侧底面半圆、右侧底面半圆的一半，球表面的，以及球的过球心的两个截面构成。圆柱侧面的一半，其面积S12R1lR1l12；
12、圆柱的轴截面为矩形，其面积S22R1l212；半圆柱左侧底面，其面积S3R12；半圆柱右侧底面(裸露部分)，其面积S4R12；球的表面，其面积S54R12；球的过球心的两个截面，其面积之和S6R12。所以该几何体的表面积SS1S2S3S4S5S6222。故选B。答案B考点三 体积中的最值问题【例3】(2019长春质量监测)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为_。解析由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h，所以圆锥的体积Vr2hr2(0r0)，则f(r)36r36r5，令f(r)36r36r56r3(6r2)0，得r，所以当0r0，f(r)单调递增，
13、当r3时，f(r)0，f(r)单调递减，所以f(r)maxf()108，所以Vmax2。答案2本题通过建立体积的函数关系式，将最值问题转化为函数的最值，此法应用最为广泛。此外也要注意几何法的应用。 【变式训练】已知在正四棱锥SABCD中，SA6，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_。解析设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥SABCD中，SA6，所以h2108，即a22162h2，所以正四棱锥的体积VSABCDa2h72hh3,0h0，得0h6，令y0，得6h6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为6。答案6考点四 空间几何体的“切”、“接”问题【例4】(2019福州四校联考)已知三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为，BC3，BD，CBD90，则球O的体积为_。解析如图，设A到平面BCD的距离为h，因为三棱锥的体积为，BC3，BD，CBD90，所以
