《2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 （23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系2019考纲考题考情1平面的基本性质2.空间两直线的位置关系(2)平行公理：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行空间平行线的传递性。(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。(4)异面直线所成的角：定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)。范围：。3直线与平面的位置关系1公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。2异面直线
2、判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线。3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角。 一、走进教材1(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是()A过三点确定一个平面B四边形是平面图形C三条直线两两相交则确定一个平面D两个相交平面把空间分成四个区域解析对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分
3、成四个区域，故D正确。答案D2(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是()A内的所有直线与a异面B内不存在与a平行的直线C内存在唯一的直线与a平行D内的直线与a都相交解析若直线a不平行于平面，且a，则线面相交，A选项不正确，内存在直线与a相交；B选项正确，内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；C选项不正确，因为内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D选项不正确，内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交。故选B。答案B二、走近高考3(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切
4、值为()A BC D解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，CDAB，所以异面直线AE与CD所成角为EAB，设正方体棱长为2a，则由E为棱CC1的中点，可得CEa，所以BEa。又由AB平面BCC1B1，可得ABBE，所以tanEAB。故选C。答案C4(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A BC D解析在正方体ABCDA1B1C1D1外依次再作两个一样的正方体，如图所示，易知AEB1D1，AFCD1，所以平面AEF平面CB1D1，即平面AEF就是过点A的平面，所以AE为平面与平面ABCD的
5、交线，即为m，AF为平面与平面ABB1A1的交线，即为n，所以m，n所成角即为AE与AF所成角，也是B1D1与CD1所成角，为CD1B1。而CD1B1为等边三角形，因此CD1B1，所以sinCD1B1。答案A三、走出误区微提醒：对等角定理条件认识不清致误；缺乏空间想象能力致误。5若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB与O1B1不平行DOB与O1B1不一定平行解析两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D。答案D6已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和
6、c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面。故选D。答案D7如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_。解析EF与正方体左、右两侧面均平行。所以与EF相交的平面有4个。答案4考点一 平面的基本性质【例1】在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；(3)由
7、点A，O，C可以确定一个平面；(4)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；(5)设直线l是平面ABCD内的直线，直线m是平面DD1C1C内的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上。解(1)错误。若AC1平面CC1B1B，又BC平面CC1B1B，则A平面CC1B1B，且B平面CC1B1B，所以AB平面CC1B1B，与AB平面CC1B1B矛盾，故(1)中说法错误。(2)正确。因为O，O1是两平面的两个公共点，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1。(3)错误。因为A，O，C三点共线，所以不能确定一个平面。(4)正确。因为A，C1，B1不共线，所以A，C1，B1三点可确定平面，
8、又四边形AB1C1D为平行四边形，AC1，B1D相交于O2点，而O2，B1，所以B1O2，又DB1O2，所以D。(5)正确。若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上。1三个公理是立体几何的基础。公理1是确定直线在平面内的依据；公理2是利用点或直线确定平面的依据；公理3是确定两个平面有一条交线的依据，同时也是证明多点共线、多线共点的依据。2证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，证明点在两个平面的交线上，或者选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在该直线上。 【变式训练】(1)在空间四边形ABCD各边AB，BC，
9、CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A点P必在直线AC上B点P必在直线BD上C点P必在平面DBC内D点P必在平面ABC外(2)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析(1)如图，因为EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以P在两面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上。(2)A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面。答案(1)A(2)D考点二 空间两条直线的位置关系微点小专题方向1：异面直线的判定【例2】(2019益阳、湘潭调研考试)下图中，G，N，M，H分别是正三棱
10、柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A BC D解析由题意，可知题图中，GHMN，因此直线GH与MN共面；题图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图中，连接MG，则GMHN，因此直线GH与MN共面；题图中，连接GN，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所以直线GH与MN异面。故选C。答案C异面直线的判定方法1反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。2定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和
11、平面内不经过点B的直线是异面直线。 方向2：平行垂直的判定【例3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()AMN与CC1垂直 BMN与AC垂直CMN与BD平行 DMN与A1B1平行解析如图，连接C1D，则C1D过点N，在C1DB中，MNBD，故C正确；因为CC1平面ABCD，所以CC1BD，所以MN与CC1垂直，故A正确；因为ACBD，MNBD，所以MN与AC垂直，故B正确；因为A1B1与BD异面，MNBD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误。答案D线线平行或垂直的判定方法1对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线
12、面平行与面面平行的性质定理来判断。2对于线线垂直，往往利用线面垂直的定义，由线面垂直得到线线垂直。 【题点对应练】1(方向1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线。其中正确的结论为_(注：把正确结论的序号都填上)。解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C平面AD1C1B，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线；错误，正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平
13、面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线，正确。答案2(方向2)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()若直线m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若直线m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知平面，互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m，则n；若直线m，n在平面内的射影互相垂直，则mn。A BC D解析对于，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，错误；对于，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故正确；对于，还有可能n或n与相交，错误；对于，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面，则m与n在内的射影分别为
14、AB与BC，且ABBC。而m与n所成的角为60，故错误。答案A考点三 异面直线所成的角【例4】如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点。(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值。解(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，因为A，B，E，所以平面即为平面ABE，所以P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线。(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角。因为BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，所以AF，AE，EF，cosAEF，故异面直线AE与PB所成角的余弦值为。用平移法求异面直线所成的角的3步骤1一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；2二证：即证明作出的角是异面
