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1、复变函数与积分变换研究生复习计算题部分一、 填空题1. 若，则材=（P14，两个复数的商等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数和除数的辐角之差）2. 复数的指数形式是，幅角主值= 。（P46）3. 复数= ，= （计算过程可见第三题）。（P46）4. 设 解析，则， = 。（P41，柯西。黎曼方程）5. 设C为自原点到的直线段，则积分=（用牛顿-莱布尼兹公式）。6. 级数是 条件收敛 （填发散、条件收敛或绝对收敛）。7. =。（请分别用柯西积分公式或留数定理计算）8. 设.，则 是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点）， = 0 。9. 函数的奇点是（都是一级极点）10. 是 的 本
2、性奇点 （选：可去奇点、极点或本性奇点），= 1 。11. 函数的幂级数展开式是。12. 拉普拉斯变换的定义是。13. 若, 则 。二、 计算1. 说明函数在一点连续、可导、解析的关系。讨论的连续、可导、解析性。答：函数在一点连续、可导、解析的关系是：解析可导连续，反之不成立。 对，设，则，即 。由于都是连续函数，故在复平面上处处连续。由于。显然可微，但只在处满足柯西-黎曼方程。因此只在处可导，但在复平面上处处不解析。2. 分别求 和 的模、幅角、实部、虚部。解：所以模为 ，幅角4 + 2 k (主值为4 -)，实部、虚部。所以模为 ，幅角 + 2 k (主值为 )，实部 、虚部 。3. 求,
3、解：。其中k = 0时可得相应主值。4. 验证 是调和函数，并求，使函数为解析函数。解：，因此u是调和函数。下面用偏积分法求v：由，得到；再由，得，所以当时，为解析函数。三、 求下列积分1. ，其中C是从0到的直线段。解：由于z e z 是解析函数，用分部积分法可得2. 其中C是从0到的直线段解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为 z =(2 + i)t ( t从0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到3. 设，求（6分）解：所以 进而得 4. 求积分,为不通过的闭曲线.解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得 当a在C内时，由高阶导数公式，得 。5
4、. 解：的一级极点有z = 0.5+k，其中在C内。且由法则可求得在各极点处的留数为。故由留数定理得同理； 四. 函数的展开式1. 求在内的罗朗展开。2. 在内的罗朗展开。3. 将函数 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。解：1. 对，因为在内有 ，故在 内有 2. 对，在内时3. 四、 积分变换部分1. 求拉氏变换，。解：2. 求下列函数的拉氏逆变换 , 解: 证明题部分1. 应用棣莫弗公式证明 2. 证明：如果函数在区域D内解析，且在D内是一个常数， 那么是常数。3. 证明4. 证明如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，则它在收敛圆所围成的闭区域上绝对收敛。综合题部分1. 写出指数
5、函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数的表达式，并指出它们的特性，例如，解析性（导数是什么），周期性，是否有界等。2. 设函数在处分别有m级及n级零点,试问在处具有什么性质(解析？零点？可去奇点？极点？本性奇点？), 并根据m, n的不同情况求出它们的留数(其中m,n为非负整数)3. 描述什么是洛朗级数与泰勒级数，并说出它们的区别与关系是什么。（请就知道的尽量回答完整）4. 试说明柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式是留数定理的特殊情况。解决党委自身和基层党支部存在的的突出问题，发挥各村、社区、机关单位党支部在当前城市征迁、园区建设、招商引资、服务群众、维护稳定的作用，我镇党委高度重视，制定了切合临淮实际的活动实施方案，按照中央规定的活动步骤和要求扎实有效的开展了基层组织建设年活动。5第 页
