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1、求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律， 即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通 方程。3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以 该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示）。出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。 二、常用方法及例题 1.用定义法求曲线轨
2、迹（也叫待定系数法） 如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 抛物线：到定点与定直线距离相等例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭 圆的定义。令椭圆方程为，则， 则轨迹方程为（，图形为椭
3、圆（不含左，右顶点）。【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2， 一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。 。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。2.用直译法求曲线轨迹方程如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满
4、足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点M的轨迹方程？解 设M点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）
5、运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？【解答】|PA|=代入得化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.来源:学。科。网Z。X。X。K。X。X。K例3过点P（2，4）作两条互相垂直的
6、直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。(可用直译法和参数法)分析1：利用PAB为直角三角形的几何特性：解法1：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， l1l2，PAB为直角三角形 化简，得x2y50，此即M的轨迹方程。分析2：设M（x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法2:设M（x，y），M为AB中点，A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1l2 PAPB
7、，从而kPAkPB1， 注意到l1x轴时，l2y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x2y50 综上可知，点M的轨迹方程为x2y50。分析3：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。3.用参数法求曲线轨迹方程如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的函数关系，进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）0。此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3过点P（2
8、，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。(可用直译法和参数法)解法3：设M（x，y），设直线l1的方程为y4k（x2），（k） M为AB的中点， 消去k，得x2y50。 另外，当k0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x2y50。【点评】解法1，2为直译法，运用了 kPAkPB1这些等量关系。解法3用了参数法，消参时应注意取值范围。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线
9、的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响。4.用代入法等其它方法求轨迹方程(也叫相关点法) 如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。例4. 轨迹方程。 分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。 【解析】设动点M的坐标为（x
10、，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得 即点B坐标可表为（2x2a，2y） 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系5.几何法若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。例5.若圆C与两圆外切，则圆C的圆心轨迹l的方程是变式:已知两点给出下列曲线方程：；，在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（ ）A B C D 【点评】垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【解答】: 要使得曲线上存在点P满足,即要使得曲线与MN的中垂线有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选
11、D6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这 类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。例6.两条直线与的交点的轨迹方程是 .【解答】:直接消去参数即得(交轨法):7.常见错误：【例题】中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则由定义可知，则，得轨迹方程为【错因剖析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。【正确解答】ABC为三
12、角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为【总结】1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直译法等方 法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。针对性练习：1:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .【解答】:令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面
13、得:2:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为_。【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。3:求与两定点距离O(0,0),A(3,0)的比为1：2的点的轨迹方程为_【解答】：设是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：化简得：4.抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求ABC重心P的轨迹方程。【解答】：因点是重心，则由分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：（5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。【解答】：设双曲线方程为。将y=x1代入方程整理得。由韦达定理得。又有，联立方程组，解得。此双曲线的方程为。6.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得。设A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由消去k得。又，所以。点M的轨迹方程为。 - 9 -
