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1、 条件期望的性质和应用 摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。关键词：条件期望；定义；性质；应用 条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。现代概率论总是从讲述条件期望开始的。鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期
2、望性质的学习，实现知识的迁移。通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为，对一切使的，称为给定条件下X的条件分布列。此时条件分布函数为 ；同理，对
3、一切使的，称为给定条件下Y的条件分布列。此时条件分布函数为 。故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下或。定义2 连续随机变量的条件期望 设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度函数为，边际密度函数为和。 对一切使0的，给定条件下X的条件分布函数和条件密度函数分别为，； 同理对一切使0的，给定X=x条件下Y的条件分布函数和条件密度函数分别为，。 故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下或。 1.2 测度论角度出发的条件期望定义借助测度论这一数学工具，给出了随机变量在给定子代数下条件期望的一般性定义公理化定义，通过讨论，还可同时发现它的两条等价性定义。 引理1 若是可积(或
4、积分存在)随机变量，则必存在惟一的(不计几乎处处相等的差别)可积(相应地，积分存在)的可测随机变量，它满足 (1) 定义3(公理化定义) 设是概率空间上的可积(或积分存在)随机变量，是的子代数，则关于的条件期望是满足以下两条件的随机变量：(i) 是可测的；(ii) 。特别地，当时，也称为关于随机变量的条件期望，记为。由引理1，条件期望= 就是由(1)式定义的符号测度关于的Radon导数。 由定义 3看出，条件期望是通过积分等式(1)确定的，根据积分性质易知，两个几乎处处相等的函数的积分是相等的。 因此，条件期望的确定以及许多有关条件期望的论断都是不计几乎处处相等的差别的，从而涉及的关系式都是几
5、乎处处相等意义下的。由上面的讨论，我们有如下的等价定义：定义4 设是概率空间上的可积(或积分存在)随机变量，是的子代数，则关于的条件期望是满足以下两条件的随机变量(i)是可测的；(ii)。定义5 设是概率空间上的可积(或积分存在)随机变量，是的子代数，则关于的条件期望是满足以下两条件的随机变量：(i)是可测的；(ii)。上述三个定义虽然表达式有所不同，但其本质是相同的，且都是以公理化的形式给出的，显得比较抽象，增加了定义的理解难度。1.3 几何角度出发的条件期望定义从几何的角度，利用投影定理这一数学工具，给出条件期望的几何定义。引理2(投影定理) 如果是Hilbert空间的一个闭线性子空间,且
6、,那么(i) 存在惟一元素,使得,(ii)且成立的充分必要条件是,其中是Hilbert空间上的范数, 是的正交补。 称为在上的正交投影,记为。实Hilbert空间内积定义为。引理3 记； ， 则是的子空间。于是,特别地, 是的闭子空间。定义6(几何定义) 以表示到中的正交投影， 则任给,称为给定时的条件期望。 2 条件期望的性质2.1 一般性质因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数学期望的所有性质。性质1 若c是常数，则；性质2 对任意常数，有；性质3 对任意的两个函数和，有；性质4 若、相互独立，则。根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：推论 1 ，其中均是常数时
7、，特别有。推论 2 若相互独立，则。 注意：对于“和” ，不要求相互独立，对于“积” ，则要求相互独立。2.2 特殊性质从条件期望的这几种定义出发还可得到以下性质。 性质1 ,其中，且假定存在； 证明：根据条件期望的定义 5 ，由于都可测，所以也 可测；其次，令，则，所以 这表明是关于G的条件期望，从而证得。性质2 如果关于为可积时，如果，则 ；证明：令,，则。 由于关于为可积，所以 ，, ,因而 于是，从而。这表明 性质3 如果关于为可积时， ； 证明：因为关于为也可积，且，所以由条件期望的特殊性质2可知， ， 又由条件期望的特殊性质1可知， 所以， 。性质4 （全数学期望公式）；证明：若为
8、离散型的随机变量时， 若为连续型的随机变量时， 性质5 如果为G可测，则； 证明：这是条件期望的定义5的显然推论。特别当（常数）时， 。性质6 如果与代数G独立，则； 证明：设是二维连续型随机变量，由独立性有，其中，分别是的密度函数和边际密度函数，这时条件密度函数，于是当时，上式对一切成立，所以。在此仅就连续型的情况进行证明，而离散型的可类似证明。性质7 若关于为可积，为可测且有限时，则. 证明：为了证明有意义，首先须证关于为可积。由于关于为可积，所以。由于为可测且有限，所以令时且。令，则，并且因此，关于为可积。于是存在唯一的可测随机变量，使得 ，这里，于是，。 又因为可测，所以由上式知，是关
9、于的条件期望。于是 由于，为可测，所以 。 对于，由于它关于为可积，所以同样可以得到 ，于是， 。 综上所证，得 ， 令，则由上式得 。性质8 如果是代数G的子代数，则；证明：显然，关于也可积。为了证明有意义须证 关于为可积。 由于关于为可积，所以，。又因，这里，并注意到，所以。这表明关于为可积。既然，所以由条件期望的特殊性质4可知， 因为可测，所以由条件期望的特殊性质7， 令，则由上式得 引理4 随机变量和的相关系数在坐标平移变换中保持不变。证明：设平移变换，（为常数）由期望和方差的性质易知 性质9 （增减性）设和是随机变量，(i)当是的减函数时，则；(ii)当是的增函数时，则；(iii)当
10、是常数时，则。证明：由引理知相关系数在平移变换中保持不变，故不妨设。因为，故的符号只决定于的符号。 (i)若是的减函数，任取非零实数，如果 ，有 (2)如果 ，有 (3)若(2)式成立，当，则有故也有。又当，即，则有； ，则有。故也有。使用Lebesgue-Stieltges积分表示则有 故当不等式(3)成立时，用类似的方法同样可证。 为节省篇幅，不再赘述。(ii) 若是的增函数，任取非零实数，如果，有若是的减函数，任取非零实数。如果 ，有 (4)如果 ，有 (5)若(4)式成立，当，则有故也有。又当，即，则有； ，则有。故也有。使用Lebesgue-Stieltges积分表示则有 故当不等式
11、(5)成立时，用类似的方法同样可证。(iii)当 故。综上所述，可知条件期望关于变量的增减性，决定了相关系数的符号。3 条件期望的重要定理定理1 （单调收敛定理） 若，则在上，有；证明：显然，关于为可积。由条件期望的特殊性质2可知，所以存在。 在极限不存在的上补定义为，这样就得倒一个可测的随机变量,令， 由积分单调收敛定理， 这表明是关于的条件期望，因而 定理2 （控制收敛定理） 若，可积，且，或，则 ；证明：显然，关于为可积。令，则 且 由条件期望的单调收敛定理可知 且 因而由条件期望的特殊性质1可知 且 又由条件期望的特殊性质2可知 所以， 故 定理3 （均方误差最小定理） 设是上的任一随机变量，是的一个子代数，则对每个上可测函数有 （6）式中等号当且仅当，时成立。 证明：因为，是可测的，故有 故得 这也证明了（6）式成立的充要条件是，即 ，说明：在最小二乘（均方）意义下，已知的条件下，是的最佳预测。通常当观察到时，是一切对的估计值中均方误差最小的一个，则称之为关于的回归。特别当，则在的一切可测函数中，在最小二乘意义下，是的最佳预测。4 条件期望的求法 在现代概率论体
